Преобразований

Пусть А – невырожденная матрица. Припишем к ней (например, справа) единичную матрицу Е. Далее с помощью элементарных преобразований над строками «сдвоенной матрицы (А│E) приводим А («левую половину») к единичной матрице Е. Тогда на месте первоначально приписанной матрицы Е окажется матрица А^-1.

Заметим, что из самого способа нахождения матрицы А^-1 легко следует, что матрица, обратная для А^-1, есть А. Действительно, проделав преобразования, переводящие А в Е, в обратном порядке, из матрицы Е получим А, а из А^-1 матрицу Е. это означает, что А есть обратная матрица для А^-1, т.е. А^-1А = Е.

Пример. Для матрицы

Найти обратную матрицу А^-1.

Решение. Составим матрицу

С помощью элементарных преобразований приведём её левую «половину» А к матрице Е:

Правее вертикальной черты получилась обратная матрица А^-1:

Способ решения уравнения АХ = В

Пусть А – невырожденная матрица. Приведём её с помощьюэлементарных преобразований над строками к единичной матрице Е. Если затем те же самые преобразования применить к строкам матрицы В, то получим искомую матрицу Х.

Заметим, что нет необходимости специально запоминать преобразования, совершенные над А, чтобы проделать их над В. Вместо этого можно приписать к А (например, справа) матрицу В

(А|В)

и выполнять преобразования сразу над «сдвоенной» матрицей. После того как левая половина приведётся к Е, правая приведётся к искомой матрице Х.

Пример. Решить уравнение