Построение интерполяционного многочлена Лагранжа

Наиболее простой и (для многих случаев) удобной является система функций , . Функция при этом представляет собой многочлен степени (интерполяционный многочлен) с коэффициентами .

Система уравнений (3) в этом случае имеет вид:

, (5)

Определителем этой системы является отличный от нуля определитель Вандермонда:

Отсюда следует, что интерполяционный многочлен существует и единственен.

Непосредственное решение системы (5) для нахождения a_j уже при небольших n приводит к сильному искажению значений a_j. Получим явный вид нтерполяционного многочлена , не решая систему (5).

Если многочлен степени n такой что , то - искомый интерполяционный многочлен степени , т.к. .

Так как при , то делится на для любых , то есть

. Так как , то .

Таким образом,
(6)

Такая форма записи интерполяционного многочлена называется многочленом Лагранжа и обозначается, как правило, .

Существуют и другие формы записи того же самого интерполяционного многочлена.

Если обозначить , то

.

Тогда (6) можно записать в виде