Многочлены Чебышева

Пусть . Рассмотрим функцию вида:

(9)

При :

При : ,

При используем тригонометрическое тождество

Пусть многочлен степени . Получим рекурентное соотношение, связывающее .

Сложим почленно эти равенства и перенесем в другую сторону. Получим

(10)

Полагая в (10) , получим

(11)

Из (11) следует, что многочлен степени . Коэффициент при равен .

Корни многочлена Чебышева :

(12)

Формула (12) дает различных значений при . Значение при других значениях совпадает с одним из значений из указанных. Например, при получаем то же значение, что и при:

Значения при совпадают со значениями при и т.д.

на отрезке [-1,1] равен 1. Он достигается в точках, когда

.

, (13)

Покажем, что среди всех многочленов степени n со старшим коэффициентом 1 многочлен наименее отклоняется от нуля на отрезке [-1,1].

Покажем, что для любого со старшим коэффициентом 1

.

Разность есть многочлен степени . В точках принимает поочередно значения +1, -1. Если , то разность в точках будет принимать поочередно положительные и отрицательные значения и будет иметь нулей (между значениями ). Получаем противоречие.