Механизм состоит из ступенчатых колес 1–3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0–К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 – r1 =2 см, R1 = 4 см, у колеса 2 – r2 =6 см, R2 =8 см, у колеса 3 – r3 – 12 см, R3 =16 см. На ободьях колес расположены точки А, В и С.
В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где φ1(t) – закон вращения колеса 1, s4(t) – закон движения рейки 4, ω2(t) –закон изменения угловой скорости колеса 2, v5(t) – закон изменения скорости груза 5 и т.д. (везде φ выражено в радианах, s – в сантиметрах, t – в секундах). Положительное направление для φ и ω против хода часовой стрелки, для s4, s5 и v4, v5 – вниз.
Определить в момент времени t1=2 с указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (v – линейные, ω – угловые) и ускорения (а – линейные, ε – угловые) соответствующих точек или тел (v5 – скорость груза 5 и т. д.).
|
|
Указания. Задача К2 – на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.
Таблица К2
Номер условия | Дано | Найти | |
скорости | ускорения | ||
vB, vC | ε2, аA, aв | ||
vA, vC | ε3, aВ, a4 | ||
v4, ω2 | ε2, аС, a5 | ||
v5, ω3 | ε2, аА, а4 | ||
v4, ω1 | ε1, аB, а5 | ||
v5, vB | ε2, аC, а4 | ||
v4, ω1 | ε1, aC, a5 | ||
vA, ω3 | ε3, aB, a5 | ||
v4, ω2 | ε1, aC, a4 | ||
v5, vB | ε 2, aA, а4 |
Рис. К2.0 | Рис. К2.1 |
Рис. К2.2 | Рис. К2.3 |
Рис. К2.4 | Рис. К2.5 |
Рис. K2.6 | Рис. К2.7 |
Рис. К2.8 | Рис. К2.9 |
Пример К2. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R2 и r2 и колесо 3 радиуса R3,скрепленное с валом радиуса r3, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К2) Рейка движется по закону .
Рис. K2
Дано: R2 =6 см, r2 =4 см, R3 =8 см, r3 = 3 см, (s – в сантиметрах, t – в секундах), А – точка обода колеса 3, t1 =3 с. Определить: ω3, vt, ε3, αA в момент времени t=t1.
Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса R1), через: vi, а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса r1), – через ui.
1. Определяем сначала угловые скорости всех колес как функции времени t. Зная закон движения рейки 1,находим ее скорость
|
|
(1)
Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то v2=v1 или ω2R2=v1. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, u2 = v3 или ω2r2 = ω3r3. Из этих равенств находим
, (2)
Тогда для момента времени t1 =3 с получим ω3 =6,75 с-1.
2. Определяем v1. Так как v1=vB=w3r3, то при t1 =3 с v4 = -20,25 см/с.
3. Определяем ε3. Учитывая второе из равенств (2), получим . Тогда при t1 =3 с ε3 =4,5 с-2.
4. Определяем аA. Для точки А ,где численно , . Тогда для момента времени t1=3 с имеем
, ;
.
Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. К2. Ответ: ω3=6,75 с-1; v4 =20,25 см/с; ε3 =4,5 с-2; aA = 366,3 см/с2.