Задача ДЗ

Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты 1 массой m₁ =18 кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих, и груза D массой m₂ =6 кг (рис. Д5.0–Д5.9, табл. Д5). В момент времени t₀ =0, когда скорость плиты и₀= 2 м/с, груз под действием внутренних сил начинает двигаться по желобу плиты. На рис. 0–3 желоб КЕ прямолинейный и при движении груза расстояние s = AD изменяется по закону , а на рис. 4–9 желоб – окружность радиуса R =0,8 м и при движении груза угол изменяется по закону . В табл. Д5 эти зависимости даны отдельно для рис. 0 и 1, для рис. 2 и 3 и т. д., где s выражено в метрах, φ – в радианах, t – в секундах.

Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить величину, указанную в таблице в столбце «Найти», где обозначено: x₁ – перемещение плиты за время от t₀ =0 до t₁ =1 с; и,, a,, N_t –значения в момент времени t₁ =l с скорости плиты, ускорения плиты и полной нормальной реакции направляющих соответственно.

Указания. Задача Д5 на применение теорем о движении центра масс и об изменении количества движения системы. Первой теоремой удобнее пользоваться, когда надо найти перемещение (или закон движения) одного из тел системы, движущегося поступательно, а второй – когда надо найти скорость такого тела. При определении ускорения тела или реакции связи тоже удобнее воспользоваться первой теоремой.

Таблица Д5

Номер условия			Найти
рис. 0,1	рис. 2,3	рис. 4,5	рис. 6,7	рис. 8,9
					x₁
					u₁
					a₁
					x₁
					N₁
					u₁
					x₁
					a₁
					N₁
					u₁

Рис. Д5.0	Рис. Д5.1
Рис. Д5.2	Рис. Д5.3	Рис. Д5.4
Рис. Д5.5	Рис. Д5.6	Рис. Д5.7
Рис. Д5.8	Рис. Д5.9

Пример. В центре тяжести А тележки массой m₁, движущейся по гладкой горизонтальной плоскости, укреплен невесомый стержень AD длиной l с грузом D массой т₂ на конце (рис. Д5, а),

В момент времени t₀ =0, когда скорость тележки и₀, стержень AD начинает вращаться вокруг оси А по закону .

Рис. Д5а

Дано: m₁ = 24 кг, m₂ =12 кг, u₀ =0,5 м/с, l =0,6 м, (t – в секундах).

Определить в момент времени t₁= 1 с: а) перемещение x₁ тележки (перемещение за время от t₀= 0до t₁ =l c); б) ускорение a₁ тележки; в) скорость u₁ тележки;г)полную нормальную реакцию N₁ плоскости.

Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из тележки н груза D, в произвольном положении. Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести Р_ь Р_г и реакции плоскости N', N". Проведем координатные оси Оху так, чтобы ось у проходила через точку А₀, где находился центр масс тележки в момент времени t₀= 0.

a) Определение перемещения x₁. Для определения x₁ воспользуемся теоремой о движении центра масс системы. Составим дифференциальное уравнение его движения в проекции на ось х. Получим

или , (1)

так как , поскольку все действующие на систему внешние силы вертикальны.

Определим значение . Из рис. Д5, а видно, что в произвольный момент времени абсциссы х_A – центра масс тележки и x_D – груза равны соответственно: , . Так как по формуле, определяющей координату х_C центра масс системы. , то

(2)

Теперь, проинтегрировав уравнение (1), найдем, что

; (3)

где С₁ и С₂ – постоянные интегрирования. Подставив во второе из этих уравнений значение Мх_С из равенства (2), получим

. (4)

Для определения С₁ и С₂ понадобится еще одно уравнение, которое получим, продифференцировав обе части равенства (4) по времени:

(5)

где – скорость тележки. По начальным условиям при t =0, x =0, . Подставляя эти величины в равенства (4) и (5), найдем, что , . При этих значениях C₁ и С₂ уравнение (4) примет вид

Отсюда получаем зависимость от времени координаты х, определяющей одновременно перемещение тележки;

. (6)

Полагая здесь t =1 с, найдем искомое перемещение х₁. Ответ: х₁= 0,33 м.

б) Определение ускорения a₁. Проделав те же рассуждения и выкладки, что и в предыдущем примере, получим уравнение (1) и формулу (2). Для определения a₁ продифференцируем дважды по времени обе части равенства (2). Получим

;

где – ускорение тележки. Но согласно уравнению (1) ; в результате находим следующую зависимость а от времени:

Полагая здесь t =1 с, определим искомое ускорение а₁. Ответ: а₁ =–2,51 м/с². Знак минус указывает, что ускорение тележки направлено влево.

Рис Д5б

в) Определение скорости u₁. Чтобы определить и₁, воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы в проекции на ось х. Так как все действующие на систему внешние силы вертикальны (рис. Д5, б),то и теорема дает

, откуда .(1)

Для рассматриваемой механической системы , где и – количества движения тележки и груза D соответственно ( – скорость тележки, – скорость груза по отношению к осям Оху). Тогда из равенства (1) следует, что

, или (2)

Для определения v_Dx рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по отношению к тележке относительным (это движение, совершаемое при вращении стержня AD вокруг оси А), а движение самой тележки – переносным. Тогда и

. (3)

Но и, следовательно, . Вектор направлен перпендикулярно стержню и численно .

Изобразив этот вектор на рис. Д5, б с учетом знака , найдем, что . Окончательно из равенства (3) получим

. (4)

(В данной задаче величину v_Dx можно еще найти другим путем, определив абсциссу x_D груза D, для которой, как видно из рис. Д5, а, получим ; тогда , где , а )

При найденном значении v_Dx равенство (2), если учесть, что u_x=и, примет вид

(5)

Постоянную интегрирования С₁ определим по начальным условиям: при t =0 и=и₀. Подстановка этих величин в уравнение (5) дает и тогда из (5) получим

Отсюда находим следующую зависимость скорости к тележки от времени:

(6)

Положив в уравнении (6) t=l с, определим искомую скорость u₁. Ответ: и₁ =–0,76 м/с. Знак минус указывает, что скорость тележки направлена влево.

г) Определение реакции N₁. Для определения N₁ воспользуемся теоремой о движении центра масс системы. Составим дифференциальное уравнение его движения в проекции на ось у (см. рис Д5,а):

или .(1)

Отсюда, полагая , получим

. (2)

Из формулы, определяющей ординату y_C центра масс системы, , где у_A и у_D – соответственно ординаты центра масс А тележки и груза D. В нашем случае , . Тогда