Скалярное произведение вектора на вектор , определяется соотношением:
× = . (11)
Например, × = 3 * (-1) + 1 * 2 + 4 * 1 + 0 * (-4) = 3.
Свойства:
1. ;
2. ;
3. ;
4. . (12)
Длина вектора: . (13)
Например, .
Косинус угла между векторами определяется формулой:
. (14)
Векторы называют ортогональными, если * = 0 (т. е. Cosj = 0).
Например, = (-1, 1, 0, 1), = (2, -1, 1, 0);
.
Координаты вектора вычисляются по формуле:
, (15)
где А(а1, а2, а3) и В(в1, в2, в3).
Например, А(1, -3, 2), В(2, -2, 3) = (1, 1, 1).
Проекцией вектора на вектор называется произведение длины вектора на косинус угла между векторами и , и обозначается .
Векторное произведение - это вектор, который вычисляется по формуле
= (а1, а2, а3), = (в1, в2, в3);
. (16)
Разлагаем определитель по первой строке:
|
|
Например, = (1, -1, 0), = (2, -1, 1);
;
(-1, -1, 1).
Свойства:
1.
2. ,
3. ,
4. . (17)
Длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Смешанное произведение трех векторов = (а1, а2, а3), = (в1, в2, в3),
= (с1, с2, с3) определяется выражением: . (18)
|
|
Например, = (1, -1, 0), = (1, 0, -1), = (0, 1, -1),
< , , > = .
Абсолютная величина смешанного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.