Неопределенный интеграл

1. Функция F(x), называется первообразной для функции f(x), если F(x)’ = f(x).

Пример: Первообразной для функции f(x) = sinx будет функция F(x) = cosx, т.к.

(sinx)’ =(cosx). Для функции f(x) = sinx +5 будет такая же первообразная, т.к.

(sinx+5)’ =(cosx). Более того для функции f(x) = sinx +С, где (С = const, т.е. произвольная постоянная), первообразная же будет cosx, т.к. (sinx+С)’ =(cosx).

1. Множество всех первообразных для функций f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, С - произвольная постоянная (С = const).

Замечание: ∫ - знак операции интегрирования, т.е. нахождения всех первообразных для подынтегральной функции; d – знак операции дифференцирования.

Только для родителей чьи дети учатся в 11 классе. То, что сказано в п.2 – это тоже самое, что написано на стр. 172[4].

3. где k=const

Аналогично правилу 2, стр. 176[4].

4.

Аналогично правилу 1, стр. 176[4].

5.

Операция интегрирования ∫ и операция дифференцирования d как две обратные операции друг друга уничтожили (Добавка произвольной постоянной С – плата за то, что ищутся все первообразные).

1. Операция дифференцирования d усердно заставляет вспомнить о её возможностях.

а) df(x) = f’(x)dx; f’(x) – производная.

б) d(x ± k) = dx, где k=const,

в) dkx= kdx, где k=const.

Таблица неопределенных интегралов

1. 8.

2. 9.

3.

4. (частный случай п.3) 10. (a¹0)

5. 11.

6. (|z| ¹ a, a ¹ 0)

7. 12.

В данном случае z может быть как независимой переменной, так и функцией. Это свойство называется свойством инвариантности формул интегрирования. Именно поэтому в таблице используется не традиционная буква х, а буква z.