Распределение Пуассона. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности k появлений события А в этих испытаниях используется формула Бернулли. Если же n велико, то пользуются асимптотической формулой Муавра-Лапласа. Однако, эта формула непригодна, если вероятность события мала (р≤0,1). В этих случаях (n велико, р мало, а их произведение np<10) прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Сделаем допущение: произведение np сохраняет постоянное значение, то есть np=λ=сonst. Это означает, среднее число появлений события А в различных сериях испытаний, т.е. при различных значениях n, остается неизменным.

По формуле Бернулли интересующая нас вероятность равна

Так как np=λ, то p= λ/n. Следовательно,

Так как n имеет очень большое значение, вместо Р_n(k) найдем . При этом будет найдено лишь приближенное значение отыскиваемой вероятности: хотя n и велико, но конечно при отыскании предела мы устремим n к бесконечности. Поскольку произведение np сохраняет свое постоянное значение, то при n→ ∞ вероятность р→0.

Итак,

Таким образом, (1.41)

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) и редких (p мало) событий. Имеются специальные таблицы, пользуясь которыми можно найти P_n(k), зная k и λ.

13. Случайные величины: дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения дискретной случайной величины и её свойства.

Основные определения. Результат любого случайного эксперимента можно характеризовать качественно и количественно. Качественный результат случайного эксперимента - случайноесобытие. Любая количественная характеристика, которая в результате случайного эксперимента может принять одно из некоторого множества значений, - случайная величина. Случайная величинаявляется одним из центральных понятий теории вероятностей.

Пусть - произвольное вероятностное пространство. Случайной величиной называется действительная числовая функция x =x (w), w W, такая, что при любом действительном x .

Событие принято записывать в виде x < x. В дальнейшем случайные величины будем обозначать строчными греческими буквами x, h, z, …

Случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента. В первом случае мы имеем дело с дискретнойслучайной величиной (она принимает значения из дискретного числового множества M= {1, 2, 3, 4, 5, 6}; во втором случае - с непрерывной случайной величиной (она принимает значения из непрерывного числового множества - из промежутка числовой прямой I =[100, 3000]).

Функция распределения случайной величины. Её свойства

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Если x.- случайная величина, то функция F (x) = F_x (x) = P (x < x) называется функцией распределения случайной величины x. Здесь P (x < x) - вероятность того, что случайная величина xпринимает значение, меньшее x.

Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением.

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

· F (x)определена на всей числовой прямой R;

· F (x)не убывает, т.е. если x ₁ x ₂, то F (x ₁) F (x ₂);

· F (- )=0, F (+ )=1,т.е. и ;

· F (x) непрерывна справа, т.е.

.

Функция распределения дискретной случайной величины

Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x ₁ < x ₂ < … < x_i < … с вероятностями p ₁ < p ₂ < … < p_i < …, то таблица вида

x 1	x 2	…	xi	…
p 1	p 2	…	pi	…

называется распределением дискретной случайной величины.

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:

1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

Если функция распределения F_x (x) непрерывна, то случайная величина x называется непрерывной случайной величиной.

Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины p_x (x), которая связана с функцией распределения F_x (x) формулами

и .

Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины .

Квантили

При решении практических задач часто требуется найти значение x, при котором функция распределения F_x (x) случайной величины x принимает заданное значение p, т.е. требуется решить уравнение F_x (x) = p. Решения такого уравнения (соответствующие значения x) в теории вероятностей называются квантилями.

Квантилью x_p (p -квантилью, квантилью уровня p) случайной величины , имеющей функцию распределения F_x (x), называют решение x_p уравнения F_x (x) = p, p (0, 1). Для некоторых p уравнение F_x (x) = p может иметь несколько решений, для некоторых - ни одного. Это означает, что для соответствующей случайной величины некоторые квантили определены неоднозначно, а некоторые кванитили не существуют.

Квантили, наиболее часто встречающиеся в практических задачах, имеют свои названия:

медиана - квантиль уровня0.5;

нижняя квартиль - квантиль уровня0.25;

верхняя квартиль - квантиль уровня0.75;

децили - квантили уровней0.1, 0.2, …, 0.9;

процентили - квантили уровней 0.01, 0.02, …, 0.99.

Вероятность попадания в интервал

Вероятность того, что значение случайной величины F_x (x) попадает в интервал (a, b), равная P (a <x < b) = F_x (b) - F_x (a), вычисляется по формулам:

- для непрерывной случайной величины и

- для дискретной случайной величины.

Если a= - , то ,

если b= , то .

14. Числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание дискретных и непрерывных случайных величин; свойства математического ожидания.

Закон распределения случайной величины дает исчерпывающую информацию о случайной величине. Однако, иногда можно охарактеризо­вать достаточно ярко случайную величину с помощью всего одного или нескольких чисел. Например, можно указать закон распределения количества осадков выпадающих в данной местности за определенный месяц, но проще инагляднее указать среднее количество осадков в данном месяце.

Числа, назначение которых в сжатом виде характеризовать основные особенности распределений случайных величин, называются числовыми характеристиками. Рассмотрим некоторые из числовых характеристик и их основные свойства.