Пріоритети та їх числове відображення

Розділ 3. РИЗИК ТА ТЕОРІЯ КОРИСНОСТІ

Основні терміни: корисність, пріоритети, лотерея, детермі­нований еквівалент, криві байдужості, схильність до ризику, несхильність до ризику, нейтральність до ризику.

КОНЦЕПЦІЯ КОРИСНОСТІ.

ПРІОРИТЕТИ ТА ЇХ ЧИСЛОВЕ ВІДОБРАЖЕННЯ

Для задач прийняття рішень за умов невизначеності та ри­зику принцип оптимальності нерідко будується у виді функції корисності. Оскільки при наявності ризику результати рішень залежать від випадкових величин, то для порівняння їх ефек­тивності необхідно вміти порівнювати функції розподілу ефек­тивності. У цьому випадку важливе значення для прийняття рішень мають результати про властивості функції корисності чи конкретного її виразу, які витікають із того чи іншого набору властивостей співвідношень пріоритетності [8, 32, 39, 59].

Корисність визначає ступінь задоволення, яке одержує суб'єкт від споживання товару чи виконання будь-якої дії.

Можливо, що найбільш загальний підхід щодо оцінки сту­пеня (міри) ризику полягає у введенні функції корисності. Концепція функції корисності є одним із важливих елементів будь-якої сучасної економічної теорії. Вона дозволяє здійснити спів вимірність споживчих елементів різних товарів.

Корисність включає важливу психологічну компоненту, тому що люди досягають корисності, отримуючи речі, що приносять їм задоволення. В економічному аналізі корисність часто використовується для того, щоб описати пріоритет при ран жуванні наборів споживчих товарів та послуг. Якщо людина більше задоволена від купівлі декількох книжок, ніж від придбання сорочки, то книжки мають для цієї людини більшу корисність, ніж сорочка. Сумірність цінних паперів, котрі також є товаром, на перший погляд, простіше здійснити, оскільки усі вони мають ціну. Але ризиковані цінні папери — це документи, що свідчать про можливість одержання грошей у майбутньому, і тут сумір­ність проблематична: не можна сказати, котра з величин випад­кова, якою є ефективність (норма доходу) кожного з цінних паперів, буде більшою чи меншою, а отже, не можна сказати, який з цінних паперів чи який портфель цінних паперів є пріоритетнійшим.

Встановлення будь-якої міри ризику є спробою подолати це протиріччя, характеризуючи випадкову величину одним показ­ником (параметром). Застосовуючи різні функції корисності, можна описати будь-які варіанти оцінки випадкової економічної ситуації у виді сподіваного значення такої функції. Природа, що будь-які підходи такого роду є суб'єктивними, але без них не обійтися, якщо намагатися ввести певну єдину міру.

Введемо таке поняття як пріоритет, яке досить часто використовується менеджерами (суб'єктами прийняття рішень).

Обозначим соотношение „самое приоритетное чем”, „безразличное”, „не хуже чем” соответственно символам , ~, .

Нестрогое соотношение приоритетности „ не хуже чем” является одним из основних самих простих понятий; его записывают так:

х у, (3.1)

де х та у є набором товарів чи послуг (точками простору Х).

Цей запис означає, що певний суб'єкт (споживач) вважає для себе набір х або пріоритетнійшим, ніж набір „ у”, або не робить між ними різниці, тобто "х" не гірше ніж "у". Можна визначити поняття байдужості та строгої пріоритетності у термінах не-строгого співвідношення пріоритетності: набори товарів " х": "у" байдужі (еквівалентні) для споживача (х~ у) тоді і лише тоді, коли

(х у и у х). (3.2)

А когда потребитель желает выбрать «х», а не «у», т.е. «х» более приоритетный, чем «у» (записывают х у), тогда и лишь тогда, если он не хуже чем «у», а «у» хуже, чем «х». Значит х у тогда и лишь тогда, когда

х у, а у х – несправедливо. (3.3)

Надалі будемо вважати, що нестроге співвідношення і прiо­ритетності задовольняє дві основні аксіоми.

Перша аксіома стверджує, що це співвідношення є досконалоюнапівупорядкованістю у просторі товарів X. Співвiдношення називається досконалим, якщо для двох заданих наборів "х" та " у" з X справедливе одне з двох співвідношень:

х у, или у х, или одновременно. (3.4)

Це означає, що у просторі товарів немає таких «білих пля м», де прiоритет не існує. Співвідношення називають частковою впорядкованістю, якщо воно транзитивне, тобто для трьох заданих наборів " х"," у" та " z" iз X виконується умова:

Если х у, и у z, то х z, (3.5)

которая выражает совместимость приоритетов, и, если соотношение рефлексивное, т.е. для будь-какого х Х

х > х (3.6)

Цей факт випливає з досконалості співвідношення. Нестроге співвідношення пріоритетності є досконалою частковою впорядкованістю простору товарів і означає, що соотношение безразличия является соотношением эквивалентности, поскольку при заданных х, у и z Х, если

х ~ у и у ~ z, тогда х ~ z (3.7)

рефлексивное, поскольку при заданных х Х

х ~ х, (3.8)

и семеричное, поскольку при заданных х и у ~ z

х ~ у означает у ~ х. (3.9)

Для доказательства, например, транзитивности обозначим, что х ~ у и у ~ z означает из определения безразличия, что х у и у z и что z х и у х. Тогда из транзитивности нестрогого соотношения приоритетности х z и z х выплывает, что х ~ z.

Співвідношення байдужості, як співвідношення еквівалент­ності, ділить простір товарів Х на класи еквівалентності — підмножини, що попарно не перетинаються, називаються множинами байдужості, кожна з яких складається з усіх наборів, байдужих заданому наборові "х":

(3.10)

Друга основна аксіома стверджує, що нестроге співвідно­шення пріоритетності неперервне, тобто пріоритетні множини, кожна з яких складається з у їх наборів, що епріоритетніші чи байдужі заданому наборові "х":

(3.11)

і непріоритетні множини, кожна з яких складається з усіх таких наборів, для котрих заданий набір " х" пріоритетніший чи бай­дужий

(3.12)

является замкнутой множиной простора товаров для будь-какого х Х.

По этой аксиоме обе множены имеют все крайние точки для обеих множен эти точки производят, множену равнодушия I_x, равную перетинові

З цих основних аксіом досконалої нестрогої впорядкованості та неперервності випливає, що існує неперервна дійсна функція, визначена на елементах множиш X - U(·), котру називають функ­цією корисності і для якої

если х у (3.13)

Функция полезности сопоставляет каждому набору потребителей товаров полное число в такой способ, если нобор А приоритетнее, чем нобор В (А В), то число которое отвечает нобору А, будет больше, чем те, которые соответствуют набору В.