Функція корисності з інтервальною нейтральністю

Скористаємося з положень наведених у [59], де розглядається функцiя корисності з інтервальною нейтральністю. Вона відображає відношення до ризику особи, що приймає рішення за умов, коли результат знаходиться в певних межах. Якщо йдеться про весь інтервал змінення результатів, корисність якого оцінюють, то тут відношення до ризику не буде нейтральним.

Рис. 3.3. Криві байдужості трьох менеджерів (інвесторів)

Три криві байдужості для трьох менеджерів (А, В, С), позначені відповідно цифрами 1, 2, 3. Зауважимо, що особа А характеризується найбільшою схильністю до ризику, а особа С найменшою схильністю (найбільшою несхильністю) до ризику.

Розглянемо точки а, b, с, щолежать на кривих байдужості, котрі відповідають величині корисності, наприклад, в 5 одиниць. Всім цим точкам відповідає також однаковий ступінь ризику, що дорівнює 10%.Однак сподівані норми прибутку є для цих трьох осіб різними, для А —20%, для В —25%,для С—30%.Це означає, що при цьому ступені ризику (10%)менеджер С мусить мати гарантовану (детерміновану) норму доходу, яка дорівнює 30%, щоб його корисність мала 5 одиниць. З точки зору менеджера А «вистачить» вже 20%.Менеджер С є найменш схильним до ризику серед цих трьох осіб, бо вимагає більшої компенсації (премії), тобто норми прибутку за обтяження таким же ступенем ризику. Чим більше схильною до ризику є певна особа, тим менший кут нахилу до осі абсцис мають криві байдужості цієї особи.

Рис. 3.4. Интервальна нейтральнiсть (глобальна несхильність) до ризику

Один iз типів функції з інтервальною нейтральністю до ризику мае такий вид.

U(x) = min (a_ix + b_i). (3.31)

Если …> 0, то U(x) – возрастающая функция полезности, которая характеризует несхильность к риску, поскольку она является выпуклой вверх (рис.3.4).

Часто U(х) представляют в виде:

a₁х + b₁, 0 ≤ x ≤ x₁,

a₂x + b₂, x₁ ≤ x ≤ x₂,

U(x) = (3.32)

a_nx + b_n, x_{n 1} ≤ x ≤ ∞.

где a₁>a₂ ……… > a_n, a b₁ < b₂ < b_n, x₁, x₂, x_n_- ₁ – точки перетину графиков функций a₁x + b₁ и a₂x +b₂ и a₃x + b₃ и т.д. Поскольку какая-либо доданкив полезности не изменяет её стратегическую эквивалентность, принимают b₁ = 0.

На интервалах [0, х₁], [х₁, х₂],, [х_n_-1, ∞] функция будет нейтральной к риску.

За допомогою функцій з iнтервальною нейтральністю до ризику можна з будь-якою точністю апроксимувати нелінійні функції корисності.

Для зручності інтервали нейтральності до ризику класифікують. Наприклад, інтервал [0,х₁], зображений на рис. 3.4, є інтервалом з високою граничною корисністю, [х₁, х₂] — з середньою, [х₂, ∞] - з низькою.

Функції інтегрально-нейтральні до ризику в багатьох випадках дають можливість перейти до лінійних залежностей [59]. Нехай виникає потреба в максимізації функцій корисності (3.31):

U(x) = min (a_ix + b_i) → ,

де у — вектор параметрів деякої системи; D — множина допустимих пар (х,у).

Вважається, що задача (3.33) еквівалентна задачі з лінійною функцією корисності:

U → ; U ≤ a_ix + b_i; (i = 1, n; (x,y) D). (3.34)

Якщо вектор результатів f складається з одного елемента (одноцільова задача), то відношення до ризику суб'єкта керування можна описати за допомогою функції корисності U(f). Існує досить багато конкретних типів функцій корисності.

Розглянута функція з інтервальною нейтральністю до ризику

U(f) = (a_if + b_i), где a₁ > a₂ > … > a_n и 0 ≤ b₁ < b₂,< … < b_n отображает глобальную несхильность к риску на различных интервалах.

Функция U(f) = (a_if + b_i), где 0 < a₁ < … < a_n и 0 ≥ b₁ > b₂ > … > b_n, відображає глобальну схильність до ризику.