Работа 8

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИИ МАТЕ­РИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Цель работы - экспериментально проверить теорию свобод­ных колебаний точки.

8.1. Теоретическое обоснование работы

Исследуем колебательное движение тела (материальной точки), подвешенного на пружине, как показано на рис. 8.1,.

Рис. 8.1. Схема к исследованию свободных колебаний материальной точки.

На материальную точку М массы в любом промежуточном положении действуют сила тяжести mg и сила упругости пружи­ны F, Проекция силы F на ось ОХ согласно закону Гука

F_x=c(X_cm+x)

где с - жесткость пружины;

- деформация пружины под действием силы тяжести тела в положении равновесия;

х - координата материальной точки в промежуточном положении.

Найдем закон движения материальной точки М. Составляя дифференциальное уравнение движения в проекции на ось ОХ, получим

mх=mg-с( ⁺х)-

Учитывая mg = c уравнение (8.1) представим в виде:

Деля обе части равенства на т и вводя обозначение
с/т = к , (8.2)

окончательно получим:

х + к х = 0-

Уравнение (8.3) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний точки. Решение этого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка ищем в виде х = e^nt. Полагая в уравнении (8.3) х = е^п', получим для определения п характеристическое уравнение п² +-к² = 0. Поскольку корни этого уравнения являются чисто мнимыми (n_1,2 = ±ik), то, как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (8.3) имеет вид:

х = c₁ sinkt + с₂ coskt,

где c₁ и сг - постоянные интегрирования.

Если вместо постоянных c₁ и с₂ ввести постоянные А я а, та­кие, что с = Acos а, с2 = Asin а, то получим

x=Asin(Kt+a) (8.4)

(здесь А - амплитуда гармонических колебаний, а - начальная фаза).

Продифференцировав уравнение (8.4), получим скорость точ­ки в рассматриваемом движении:

v_x = Ak cos (Kt+ a) (8.5)

Параметры колебаний А и а определяются по начальным ус­ловиям. При t = 0 х = х₀, х = v₀. Тогда

x₀ = Asina (8.6)

= Akcos a, (8.7)

Решая совместно выражения (8.6) и (8.7), находим:

A= (8.8)

α=arctg . (8.9)

Промежуток времени Т, в течение которого точка совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний. По ис­течении периода колебаний фаза меняется на 2л. Следовательно, должно быть кТ= 2х, откуда

Т = 2π , (8.10)

к = 2π/Т (8.11)

Анализируя выражения (8.8), (8.9) и (8.10), приходим к выво­ду, что амплитуда колебаний А к начальная фаза а зависят от со­стояния системы в начальный момент, период колебаний зависит от массы тела m и от жесткости пружины с. На период колебаний не влияют ни амплитуда, ни начальные условия.

Из выражения (8.10) можно вычислить жесткость пружины, т. е.

с = 4тπ:²/Т² (8.12)

Жесткость пружины можно определить также, измерив вели­
чину растяжения пружины в состоянии статического равновесия
под действием силы тяжести груза, т. е. из соотношения:
c = 4m/.λ_ст (8.13)