Решение нелинейных уравнений

Решение нелинейных уравнений типа y(x)=0 целесообразно производить в 2 этапа: сначала определить грубое начальное приближение корней по графику функции, полученном с использованием математической панели инструментов Graph (Графика), а затем методом последовательных приближений найти более точные значения с помощью встроенной функции root(y(x),x).

Рассмотрим примеры.

Пример 10. Определить корни нелинейного уравнения с использованием стандартной математической функции root(f(x), x).

Задано нелинейное уравнение: y(x) = 0,2x² + cos x –0,8. Требуется определить его корни, которые находятся на отрезке х от 0 до 5.

Порядок выполнения:

Ввести с клавиатуры уравнение

y(x):= 0.2ּx² + cos(x) –0.8

Задать диапазон изменения аргумента х с шагом 0,1:

х:=0,0.1..5

Вызвать с панели инструментов математическую панель Graph.

Построить график функции у(х) с использованием панели Graph и с сеткой значений. На графике проведем черту (пунктир) у=0.

На экране график функции получит вид:

Рис. 6.2. Определение начальных приближений корней

Для получения сетки в поле графика сделаем 2 щелчка мышью, и в появившемся диалоговом окне выделим пункты: "Линии сетки"; "Пронумеровать" и "Автомасштаб". Затем установим по оси х количество интервалов сетки 5, а по оси у – 6.

Из графика видно, что нелинейное уравнение имеет 2 корня, т.к. график дважды пересекает нулевую линию. Искомые корни находится примерно при х=1 и х=3. Эти значения принимаем за начальные.

Более точные значения корней находим методом последовательных приближений с использованием стандартной функции root(у(х),х), аргументами которой являются заданная функция у(х) и начальное приближение корня х. Введем начальные значения корней, а за ними функцию root cо знаком равенства, получим более точные значения корней:

x:=1 root(у(x), x) = 0.861

х:=3 root(у(x), x) = 2.991

Значения корней можно вычислить иначе:

x:=1 x1:=root(у(x),x) x:=3 x2:=root(у(x),x) x1=0.861 x2=2.991