Часть 2. Теория вероятностей

Теория вероятностей изучает случайные события, то есть события, которые могут произойти, а могут и не произойти, в результате некоторого эксперимента. Например, в результате подбрасывания монетки может выпасть (а может и не выпасть) орел. При этом эксперимент вовсе не обязательно должен быть специально организован. Сама жизнь, по сути, является экспериментальной площадкой, с которой исследователь при желании может собрать огромное количество данных. Простейшие примеры: рождение мальчика или девочки, возникновение осложнений при заболевании гриппом и т.п.

Изучать случайные события означает изучать частоту их появления при проведении большого числа экспериментов. Так, подбрасывая монетку много раз, мы замечаем, что орел выпадает примерно в половине случаев. Если подбрасывать игральную кость, то каждая грань выпадает примерно один раз из шести. Впрочем, эти результаты нетрудно предугадать. При проведении более сложных экспериментов угадать результат бывает весьма затруднительно, а зачастую и невозможно. Теория вероятностей позволяет на основании сведений о частоте появления одних событий сделать выводы о частоте появления других событий, выявив при этом скрытую зависимость между ними.

Попытаемся теперь формализовать вышесказанное. Прежде всего нам следует придать строгий математический смысл понятию «событие». С этой целью рассматривается так называемое пространство элементарных исходов, которое представляет собой множество всех возможных результатов данного эксперимента. В теории вероятностей пространство элементарных исходов принято обозначать буквой W, при этом сами элементарные исходы обозначаются w₁, w₂, w₃ и т.д. (мы молчаливо предполагаем, что множество W конечно либо, в крайнем случае, счетно, то есть все элементарные исходы можно занумеровать натуральными числами).

Пример. Из колоды в 36 карт вытаскивается 1 карта. В этом случае W состоит из 36 исходов: W = {6§, 6¨, 6©, 6ª, 7§,…}. Однако для описания того же самого эксперимента можно рассматривать пространство, состоящее из 9 элементарных исходов: W₁ = {6, 7, 8, 9, 10, В, Д, К, Т}. А можно рассматривать пространство, состоящее из 4 элементарных исходов: W₂ = {§, ¨, ©, ª}. Все зависит от того, какую задачу мы собираемся решать, хотя обычно бывает предпочтительнее иметь дело с таким пространством, которое содержит наиболее полную информацию о результатах эксперимента (в данном случае это пространство W).

Однако событие и элементарный исход – это не одно и то же. Пускай в приведенном выше примере событие заключается в том, что из колоды вытаскивают даму. В пространстве W этому событию соответствуют (в теории вероятностей говорят: благоприятствуют) четыре элементарных исхода, в пространстве W₁ – один исход, а с помощью пространства W₂ это событие задать невозможно. Мы видим, что событие удобно определить как произвольное подмножество А в пространстве W. При этом считается, что событие А произошло, если результатом эксперимента стал элементарный исход wÎА. Событие, совпадающее со всем пространством W, называют достоверным (это событие происходит при любом результате эксперимента). Пустое множество называется невозможным событием (не происходит никогда).

Задача 1. Пространство W состоит из n исходов. Сколько всего событий в этом пространстве?

Задача 2. Эксперимент состоит в подбрасывании двух игральных костей. Опишите пространство элементарных исходов этого эксперимента. Из скольких исходов оно состоит? Из скольких исходов состоит событие A_k: «сумма выпавших очков равна k»?

Указание. Результат данного эксперимента – упорядоченная пара чисел (m,n), где m – очки, выпавшие на первой кости, n – на второй. Множество таких пар удобно задавать в виде квадратной таблицы 6´6, каждой клетке которой соответствует один элементарный исход.

Задача 3. Опишите пространства элементарных исходов для следующих экспериментов:

а) производится два выстрела по мишени, представляющей собой круг, разделенный концентрическими окружностями на 10 частей;

б) два шахматиста играют матч из 4 партий;

в) игральный кубик подбрасывается до тех пор, пока не выпадет шестерка;

г) монета подбрасывается до тех пор, пока два раза подряд не выпадет орел.

В каждом из этих случаев пространство элементарных исходов можно задать по-разному. Попытайтесь это сделать. Какие способы наиболее точно описывают каждый из экспериментов?