Формула полной вероятности

Задача 26. Докажите, что для любых событий А и В справедлива формула

P(A) = P(AôB)×P(B) + P(Aï )×P()

Указание. Воспользуйтесь равенством .

Задача 27. В 40% ящиков белые шары составляют 60%, а в 60% ящиков они составляют 20%. Из случайно взятого ящика наугад выбирается шар. Какова вероятность, что этот шар белый?

Решение. Пусть событие В состоит в том, что выбран ящик первого типа. Тогда Р(В) = 0,4; P() = 0,6; P(AôB) = 0,6; P(Aï ) = 0,2. Применяя формулу из предыдущей задачи, получим Р(А) = 0,6×0,4+0,2×0,6 = 0,36.

Формулу из задачи 26 удобно применять в ситуации, когда последовательно проводятся два эксперимента, причем результат первого (произошло или не произошло событие В) существенно влияет на результат второго. Легко, однако, представить ситуацию, когда количество возможных исходов первого эксперимента гораздо больше двух.

Задача 28. Пусть события Н₁, Н₂,…Н_n попарно несовместны и в сумме дают все пространство W. Тогда справедлива формула

(4)

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Задача 29. В физико-математическом классе учится 50% математиков, 30% физиков и 20% лодырей. Каждый из математиков выучили по 80% заданных учителем формул, каждый из физиков – по 60%, а каждый из лодырей – по 10%. Какова вероятность, что случайно выбранный ученик правильно напишет необходимую формулу? А если нужно написать две формулы, то с какой вероятностью ученик правильно напишет обе? Хотя бы одну?

Задача 30. Система может находиться в одном из трех состояний: А, В и С. В течение минуты она с вероятностью 0,4 совершает переход из состояния А в состояние В, с вероятностью 0,3 – в состояние С (и с вероятностью 0,3 продолжает оставаться в состоянии А). Переходы В®А, В®С и ® имеют вероятности 0,5; 0,2 и 0,3 соответственно, а переходы С®А, Ѯ и С®С происходят с вероятностью 0,1; 0,3 и 0,6 соответственно. В начальный момент времени система находилась в состоянии А. Какова вероятность, что через две минуты она будет находиться в состоянии А? В состоянии В? В состоянии С? А что можно сказать о состоянии системы через три минуты?

Задача 31. Если Вася подготовится к уроку с помощью репетитора, то он получит пятерку с вероятностью 0,9 (в том случае, конечно, если его вызовут к доске); если он подготовится к уроку сам, то получит пятерку с вероятностью 0,5; если же Вася не подготовится к уроку, то вероятность получить пятерку составит 0,1. Известно, что Вася занимается с репетитором один раз в неделю, три раза в неделю он ходит на секцию айкидо и потому в эти дни к занятиям не готовится, в оставшиеся два дня Вася учит уроки самостоятельно (в субботу вечером Вася отдыхает в кругу друзей). Если известно, что Васю за неделю спросили один раз, то какова вероятность, что он получил пятерку? А если Васю спросят дважды (в разные дни), то какова вероятность, что он получит две пятерки? А с какой вероятностью он может в этом случае рассчитывать хотя бы на одну пятерку?

Замечание. Для решения второй части этой задачи (Васю спрашивают дважды) следует очень аккуратно рассмотреть следующие ситуации: РС, РН, СС, СН, НН. Буквы Р, С и Н означают, что в тот день, когда Васю вызывали к доске, он, соответственно, готовился к уроку с репетитором, готовился сам, не готовился вообще. Необходимо определить, с какой вероятностью Вася попадает в каждую из этих пяти ситуаций. Если событие А означает, что Вася получил две пятерки, то далее мы должны найти пять условных вероятностей: Р(АôРС), Р(АôРН), Р(АôСС), Р(АôСН) и Р(АôНН). То же для события В, означающего, что Вася получил хотя бы одну пятерку. Например, Р(ВôРС) = 0,9+0,5–0,9×0,5 = 0,95. Действительно, событие В можно представить в виде суммы двух событий: В₁ – пятерка получена в тот день, когда Вася занимался с репетитором и В₂ – пятерка получена в тот день, когда Вася занимался сам. Далее мы пользуемся формулой Р(В₁+В₂)=Р(В₁)+Р(В₂)–Р(В₁В₂).

Задача 32. Известно, что у 50% курильщиков желтые зубы, а среди некурящих людей этот процент составляет 20%. Стоматологический осмотр, проведенный в 17 школе, показал, что 30% старшеклассников имеют желтые зубы. Каков (примерно) процент курильщиков среди учащихся старших классов 17 школы?

Замечание. В этой задаче известна вероятность события А (у ученика желтые зубы), но неизвестна вероятность события В (ученик курит). Чтобы найти эту вероятность, следует воспользоваться формулой из задачи 26 и соотношением P() =1– Р(В).

Очень часто при последовательном проведении двух испытаний (экспериментов) нам бывает известен результат второго эксперимента (событие А произошло), и мы хотим сделать прогноз относительно результата первого эксперимента, то есть определить вероятность Р(H _k ôА).

Задача 33. Докажите справедливость следующей формулы:

(5)

Задача 34. В 40% ящиков белые шары составляют 60%, а в 60% ящиков они составляют 20%. Из случайно взятого ящика наугад выбирается шар. Какова вероятность, что был взят ящик первого типа, если этот шар оказался белым?

При применении формулы (5) вероятность Р(А) обычно вычисляется с помощью формулы (4). Если соединить эти две формулы вместе, то получится формула, которая носит название формула Байеса:

(6)

Задача 35. 20% выпускников 17 школы собираются поступать в московские вузы, 30% – в ТГТУ и 50% – в ТвГУ. Среди поступающих в московские вузы 20% сдают выпускной экзамен по ОБЖ, среди поступающих в ТГТУ и ТвГУ этот процент составляет 60% и 40% соответственно. Известно, что Вася решил сдавать экзамен по ОБЖ. Какова вероятность, что он собирается продолжить свое образование в ТГТУ?