Схема Бернулли

Как уже говорилось ранее, вероятность р события А характеризует частоту, с которой происходит это событие при проведении достаточно большого количества экспериментов. При этом эксперименты должны проводиться в одинаковых условиях, и результаты разных экспериментов не должны зависеть друг от друга. В этом случае принято говорить о серии из n независимых испытаний или о схеме Бернулли с параметрами n и р.

Итак, пускай проводится n независимых испытаний. В результате одного испытания событие А происходит с вероятность р (и не происходит с вероятностью q = 1– p). Если в результате данного испытания событие А произошло, то это испытание будет называться успешным. Нас будет интересовать вопрос о количестве успешных испытаний в серии из n испытаний. Обозначим через P_n(m) вероятность того, что в серии из n независимых испытаний имело место ровно m успехов.

Задача 36. Докажите, что справедлива так называемая формула Бернулли:

(7)

Решение. Результат серии испытаний можно записать как упорядоченный набор из нулей и единиц, в котором единица соответствует успешно проведенному испытанию, а нуль означает, что в соответствующем испытании событие А не произошло. Вероятность того, что на k -ом месте в этом наборе стоит единица равна р, нуль – q. Так как испытания независимы, то вероятность результата серии равна произведению вероятностей результатов отдельных испытаний. В этом произведении m раз встречается число р и n–m раз – число q. То есть вероятность результата серии, содержащей m успешных испытаний, равна p^m×q^n–m. Осталось сосчитать количество наборов, состоящих из m нулей и n–m единиц. Таких наборов, очевидно, . Отсюда получаем справедливость формулы (7).

Задача 37. Какова вероятность, что при 10 бросаниях игральной кости шестерка выпадет ровно один раз? Ровно 2 раза?

Задача 38. Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,2. Какова вероятность, что из десяти выстрелов он ровно 2 раза попадет в цель? Сколько выстрелов надо сделать, чтобы с вероятностью не менее 0,9 попасть в цель не менее двух раз?

Задача 39. Какое число успехов является наиболее вероятным в схеме Бернулли с параметрами n и р?

Указание. Решите неравенство .