Р/м колебания струны во всем пр-ве. Такие колебания описываются задачей Коши:
/ ∂2u/∂x2-1/a2 ∂2u/∂t2=0
| u(x,0)=ψ0(x) (*)
\ ∂u/∂t (x,0)=ψ1(x)
Решение этой задачи можно записать в виде: u(x,t)=φ1(x-at)+φ2(x+at) (**), φ1 и φ2 - " диф-мые по x и по t ф-ции. φ1 описывает движение против оси x, а φ2 – вдоль.Построим решение поставленной задачи Коши (*) для волнового ур-я. Вид φ1 и φ2 определим из начальных условий задачи:
ψ0=φ1(x)+φ2(x), ψ1=-aφ’1(x)+aφ’2(x). Проинтегрировав второе уравнение, получим:φ1+φ2=1/a x0∫xψ1(x)dx+c, c - " константаСкладывая и вычитая первое и третье ур-я, получим:φ1=-1/2a x0∫xψ1(x)dx-c/2+ψ0(x)/2, φ2=1/2a x0∫xψ1(x)dx+c/2+ψ0(x)/2Подставляя эти уравнения в (**), получим решение задачи коши для волн ур-я:u(x,t)=(ψ0(x-at)+ψ0(x+at))/2+1/2a x-at∫x+atψ1(x)dx – ф-ла Даламбера
17. Сферические волны. Формула Пуассона. Найдем общий вид сферич симметр решения 3-х мерн волн уравн. Запишем в сферич коорд. (1)или (2) или (3) для u(r,t)=rφ(r,t) (4)
общее решение в виде (5) (6) cферич симметр решение волнового ур-я. 1-е слогаемое справа опис падающую волну распростр от т. r=0 в ∞ с затуханием 1/r. 2-е слогаемое опис. Отражённую сферич волну движ к т. r=0 с возрастанием амплитуды: 1/r. Построим решение след задачи Коши будем искать огранич в т. r=0 решение <∞ переходя к вспомогат зад для u получим зад Коши для полуогранич. струны с закреплён концами , 0<r<=∞
|
|