Консервативность и порядок аппроксимации конечно-разностной схемы для линейного уравнения теплопроводности

Консервативность. Свойство консервативности заключается в следующем:Если некоторое ДУ имеет дивергентный вид: (1)То проинтегрировав это уравнение по отрезку [a,b], мы получим (2) где что означает, что изменение некоторой величины М внутри отрезка [a,b] происходит благодаря разнице потоков F на границах отрезка.Аналогично определяется свойство консервативности (4) разностной схемы для конечно-разностного уравнения, где вместо интеграла подразумевается суммирование по всем ячейкам. Если потоки совпадают F(b) = F(a), то очевидно .Произвольные схемы не обладают свойством консервативности. Это приводит к тому, что М изменяется во внутренних ячейках из-за рассогласования, не консервативности, или иначе, говорят, что во внутренних ячейках появляются фиктивные источники.Не трудно заметить, что схема (2) консервативна, просуммировав по всем j

получим

2. Порядок аппроксимации. Найдем, с какой точностью разностное уравнение (2) аппроксимирует (1). Для этого разложим переменную Т_jⁿ (считая ее непрерывной Т_jⁿ = T(t,x)) в ряд Тейлора в некоторой точке. Из симметрии схемы удобно выбрать точку (t_n+1/2, x_j) тогда:

Подставим разложение в (2), предполагая для простоты выкладок æ, h = const, (3)

Отсюда следует, что при произвольном σ схема имеет первый порядок точности о(τ), а при σ = 1/2 – второй порядок о(τ²).

Центрированная схема с σ = ½, как наиболее точная, чаще применяется – называется схемой Кранка-Николсона.

7.Устойчивость и дисперсионные свойства конечно-разностной схемы для линейного уравнения теплопроводности Дискретизация дисперсионного уравнения изменяет его дисперсионные характеристики.Рассмотрим эти эффекты на примере линейного уравнения теплопроводности, т.к. дисперсионный аналог возможен только по отношению к линейным уравнениям. (1) Всякое решение исходного уравнения (1), в том случае когда =const, мот быть разложено в ряд (интеграл) по волнам. (2) Подставляем (2) в (1): (3)Разностное уравнение: (4) также линейно и, следовательно, имеет решение, которое может быть разложено в конечный ряд (сумму) по дискретным гармоникам. Подставляя (2) в (4) получим

, (5) В общем случае -комплексна: , где вещественная часть отвечает за дисперсию (волновые свойства, колебания), а инкремент за возбуждение или подавление гармоник (в случае затухания обычно говорят о декременте). Согласно (3), для любой простой волны с волновым числом k, при , т.е. инкремент отрицателен, гармоники затухают.Дисперсионное уравнение (5), соответствующее разностной схеме, отличается т точного дисперсионного уравнения (3), но в пределе малых h и () переходит в (3). В зависимости от величины возможны различные ситуации. I. 1) -колебаний нет, «чистое» затухание. 2) -колебания с частотой (T=2 ) для волн с и затухание. II. 3) -колебания с затуханием 4) -существует область, где

Изменение от 0 до приводит к появлению короткопериодических осцилляций в численном решении (им подвержены волны с большим , т.е. короткие волны). Длинные волны () имеют правильный закон дисперсии, в то время как короткие подвержены аномально большой диффузии. Для волн с схема вообще не прозрачна. Наличие гармоник с означает возникновение неустойчивости, имеющей нефизическую численную природу. Чисто неявные схемы устойчивы при любом шаге интегрирования . Чисто явные ограничено устойчивы. Шаг при этом должен быть меньше времени распространения возмущения через одну произвольную ячейку. В конкретном случае характерного диффузионного времени.

8.Нелинейное уравнение теплопроводности, волновые решения, расчет движения тепловой волны.

Уравнение теплопроводности: (1)Нелинейная зависимость коэффициента теплопроводности от Т приводит к появлению нового типа решений уравнения (1) в виде стационарных бегущих волн, сохраняющих свою форму. Существование данного феномена связано с балансом двух конкурирующих эффектов: нелинейности, которая «укручивает» фронт волны, и диффузии, которая фронт размывает.Пусть Ищем решение (1) в виде бегущей волны: , где u=const –скорость волны. , ,С учетом данных соотношений переписываем (1): (2)

Проинтегрируем (2): (3)Выражение (3) легко интегрируется, частным решением является степеное: (4)Вблизи поведение Т () сильно нелинейно (см. рис). В этом случае линейный анализ устойчивости схемы «не срабатывает», т.к. устойчивость будет зависеть также от Т и ее градиентов. Особенность Т в точке как правило, оказывается летальной для всех явных схем, в то время как неявные воспринимают ее безо всяких проблем.