double arrow
Бином Ньютона

Исторически название бином Ньютона[2] несправедливо, ибо формулу (a+b)n знали еще среднеазиатские математики, начиная с Амара Хайяма[3] (около 1100 г.), в Европе до Ньютона ее знал Паскаль[4]. Заслуга Ньютона, что он обобщил эту формулу для нецелого показателя п. Итак,

Биномиальное разложение служит основой для многих комбинаторных формул, например:

1. a=b=1. Получим . Это число равно числу всех возможных неупорядоченных подмножеств множества Sп, состоящего из п элементов. Действительно, т.к. - число k-элементных подмножеств ((п, k)-сочетаний) множества Sп, то сумма в левой части есть число всех подмножеств.

2. a=1, b=-1. Отсюда . Из этого равенства следует, что суммы биномиальных коэффициентов, стоящих на четных и на нечетных местах, равны между собой и каждая равна 2п-1.

Полиномиальная теорема - обобщение формулы бинома на случай k слагаемых:

,

где суммирование проводится по всем решениям уравнения r1+ r2+… +rk=п в целых неотрицательных числах, т.е. выражение равно сумме всех возможных слагаемых вида ; r1+ r2+… +rk=п.

Пример.Вычислить (х+у+z)3

Раскрывая скобки последовательно, производя умножение многочлена на многочлен и приводя подобные члены, получаем

(х+у+z)3=х33+ z3+3х2у+3х2 z+3у2х+3у2 z+3 z2 х+3 z2 у+6ху z

Всего в выражении 10 членов. Этот же результат легко найти по полиномиальной формуле при п=3, k=3. Система условий суммирования здесь имеет вид . Различных числовых коэффициентов тоже три: , , . Для более удобного написания конечного результата лучше составить все возможные комбинации индексов r1, r2,r3 и поместить их в таблицу.




r1 r2 r3

Тогда

(х+у+z)3=1·(х33+ z3)+3·(х2у+х2 z+у2х+у2z+ z2х+ z2у)+6·хуz. То же самое, что было получено раньше.






Сейчас читают про: