Модели финансовых потоков

Основные понятия:

Аннуитет (финансовая рента) – это ряд последовательных платежей через одинаковые промежутки времени. Пусть nj – это величина отдельного платежа ренты. Срок ренты t – это время от начала реализации ренты до моменты последнего платежа.

Итервалы ренты – это время между 2-мя последовательными платежами. Если все платежи равны между собой, то это постоянная рента, иначе – переменная. Существуют ренты:

• Постнумерандо – все платежи осуществляются в конце интервалов ренты
• Пренумерандо – все платежи осуществляется в начале интервала ренты.

Для расчета наращения или дисконтирования платежей используется сложная % ставка.

Наращенная сумма ренты S – это все платежи вместе с % на дату последней выплаты.

Современная (приведенная) стоимость ренты – это все платежи вместе с % пересчитанными на нач момент времени ренты с помощью операции математического дисконтирования.

11.12.13

ПРИМЕР: Нахождение наращенной суммы для простой ренты постнумерандо:

Вкладчик в течении n= 5 лет вносит в банк R= 1000 руб. % на вклад начисляются по сложной % ставке i= 15% годовых, тогда наращенная (будущая сумма ренты) равна:

S = R * ((1+i)^n - 1)/ i

S= 1000*((1+0,15)^5-1)/0,15 =6742

ПРИМЕР: Нахождение наращенной суммы для простой ренты пренумерандо. Определить наращенную сумму S на основе предыдущих данных

S=R*(1+i)*((1+i)^n -1)/i =7753

ПРИМЕР: Нахождение современной стоимости для простой ренты.

Определить современную стоимость (А) простой ренты, используя исходные данные первой задачи

А=R*((1-1/(1+i)^n)/i)

A= 1000*((1-1/(1+0,15)^5)/0,15=3352

ПРИМЕР: Определить современную стоимость простой ренты из задачи 2

А=R*(1+i)*((1-1/(1+i)^n)/i) = 3854,8

ПРИМЕР: Определение величины отдельного платежа простой ренты.

Определить размер ежегодных платежей в конце года по сложной процентной ставке i=12% годовых, для накопления через n=3года сумм 50 тыс руб. Найти R.

R= (S*i)/((1+i)^n -1)

R=(50 000 * 0,12)/((1+0,12)^3-1)=14 817,45

ПРИМЕР: Пусть в предыдущем примере платежи осуществляются в начале года, тогда:

R= (S*i)/((1+i)*((1+i)^n -1))

R= (50 000*0,12)/((1+0,12)*((1+0,12)^3-1)) = 13 229,87

ПРИМЕР: Взят кредит на сумму А=590 тыс руб, сроком на n=3 года, под 14% годовых. Тогда размер ежегодных погасительных платежей в конце года

R=(A*i)/(1-1/(1+i)^n))

R=(50 000*0.14)/(1-1/(1+0,14)^3))= 21 536,37

ПРИМЕР: Пусть в предыдущем примере платежи осуществляются в начале каждого года, тогда

R=(A*i)/((1+i)*((1-1/(1+i)^n)= 18 891

ПРИМЕР: Определение срока простой ренты.

Размер ежегодных платежей R= 5 000 руб, процентная ставка i=12 годовы, наращенная сумма S= 30 000. Определить сроки простых рент постнумерандо и преднумерандо.

Постумерандо: n = логарифм (1+S*i/R)/логарифм (1+i)= 4,8

Преднумерандо: n = логарифм (1+S*i/(R*(1+i)))/логарифм (1+i)= 4,4

ПРИМЕР: Определить сроки погашения кредита А = 30 тыс. при ежегодных платежей руб R=9000 и процентной ставка 15% годовых для рент постумерандо и преднумерандо.

Постумерандо: n = - ln(1-A*i/R)/ln(1+i)= 4,96

Преднумерандо: n = - ln(1-A*i/R*(1+i))/ln(1+i)= 4,1

ПРИМЕР: Отложенная рента. Срок реализации отложенных рент откладывается на некоторое время - период отсрочки.

Простая рента с ежегодными платежами R=1000 руб, i=12% годовых и сроком n=4 год отложена на 2 года. Найти наращенную сумму S и современную стоимость А ренты.

S1= R*((1*i)^n1-1)/i= 8 115, n1 =6 лет (4+2)

Но эта простая рента состоит из простой ренты сроком n2= 2 года (добавленные на бумаге платежи, в реальности их нет) и нашей отложенной ренты. Для добавленной ренты наращенная сумма в конце второго года S2 = 2120. n2 =2,

А в конце 6 года S3 = S2*(1+i)^(6-2)= 3335.86

Отсюда S= S1-S3 =4779,33

Для нахождения А отложенной ренты можно применить аналогичный прием, но поступим проще: найдем приведенную стоимость нашей ренты через 2 года

А1=R*(1-1/(1+i)^n)/i

A1=3037,35

А теперь применим к сумме А1 операцию математического дисконтирования со сложной процентной ставкой i=12% годовых

А=A1/(1+i)^2 =2421.36