Знакопеременные и знакочередующиеся числовые ряды. Теорема Лейбница. Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Знакопеременные ряды. Так мы будем называть ряды, которые содержат бесконечные множества как положительных, так и отрицательных членов. Естественно попытаться свести исследование сходимости таких рядов к исследованию сходимости рядов с положительными членами, для которых имеются рассмотренные выше тонкие признаки сходимости, поэтому введём понятие абсолютной сходимости.

18.1.4.1. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Рассмотрим, вместе с рядом, ряд, составленный из модулей членов ряда (А):. Докажем теорему: если сходится ряд (| A |), то сходится исходный ряд (А).

Доказательство. Пусть сходится ряд (| A |). Это — сходящийся ряд, поэтому множество его частичных сумм, ограничено. В частичной сумме исходного ряда отделим множества неотрицательных и отрицательных членов; неотрицательным членам припишем индекс, у отрицательных членов вынесем знак за скобку и их модулям припишем индекс:; здесь символом обозначена сумма входящих в положительных членов, обозначает сумму модулей входящих в отрицательных членов,. Итак,. Очевидно, что. - ограниченное множество, поэтому. Но,. Суммы тоже возрастают с ростом n и ограничены сверху, поэтому существуют конечные пределы. Но, поэтому существует конечный предел, т.е. исходный ряд (А) сходится, что и требовалось доказать.

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд абсолютных величин его членов. Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Доказанная теорема сводит исследование некоторых знакопеременных рядов к положительным рядам. Для знакопеременных рядов определённой структуры - знакочередующихся рядов - также существует достаточный признак сходимости.