Ряды Тейлора и Маклорена
Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+ 1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:
где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением
Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е.  , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a. Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:
Разложение некоторых функций в ряд Маклорена
· 
· 
· 
· 
· 
|
| Пример 1
|
|
|
Найти ряд Маклорена для функции  .
Решение.
Воспользуемся тригонометрическим равенством  . Поскольку ряд Маклорена для cos x имеет вид  , то можно записать
Отсюда следует:
|
| Пример 2
|
|
|
Разложить в ряд Тейлора функцию  в точке x = 1.
Решение.
Вычислим производные:
Видно, что  для всех n ≥ 3. Для x = 1 получаем значения:
Следовательно, разложение в ряд Тейлора имеет вид
|
| Пример 3
|
|
|
Найти разложение в ряд Маклорена функции e kx, k − действительное число.
Решение.
Вычислим производные:
Тогда в точке x = 0 получаем
Следовательно, разложение данной функции в ряд Маклорена выражается формулой
|
| Пример 4
|
|
|
Найти разложение в ряд Тейлора кубической функции x 3 в точке x = 2.
Решение.
Обозначим  . Тогда
и далее  для всех x ≥ 4. В точке x = 2, соответственно, получаем
Таким образом, разложение в ряд Тейлора имеет вид
|
| Пример 5
|
|
|
Найти разложение в ряд Маклорена функции  .
Решение.
Пусть  , где μ − действительное число, и x ≠ − 1. Производные будут равны
При x = 0, соответственно, получаем
Следовательно, разложение в ряд записывается в виде
Полученное выражение называется биномиальным рядом.
|
| Пример 6
|
|
|
Найти разложение в ряд Маклорена функции  .
Решение.
Используя формулу биномиального ряда, найденную в предыдущем примере, и подставляя  , получаем
|
2015-01-07
4850
