Ряды Тейлора и Маклорена

7 8 9 10 11 12 13

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+ 1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е.

, то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a. Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена ·

·

·

·

·

Пример 1

Найти ряд Маклорена для функции

. Решение. Воспользуемся тригонометрическим равенством

. Поскольку ряд Маклорена для cos x имеет вид

, то можно записать

Отсюда следует:

Пример 2

Разложить в ряд Тейлора функцию

в точке x = 1. Решение. Вычислим производные:

Видно, что

для всех n ≥ 3. Для x = 1 получаем значения:

Следовательно, разложение в ряд Тейлора имеет вид

Пример 3

Найти разложение в ряд Маклорена функции e^kx, k − действительное число. Решение. Вычислим производные:

Тогда в точке x = 0 получаем

Следовательно, разложение данной функции в ряд Маклорена выражается формулой

Пример 4

Найти разложение в ряд Тейлора кубической функции x ³ в точке x = 2. Решение. Обозначим

. Тогда

и далее

для всех x ≥ 4. В точке x = 2, соответственно, получаем

Таким образом, разложение в ряд Тейлора имеет вид

Пример 5

Найти разложение в ряд Маклорена функции

. Решение. Пусть

, где μ − действительное число, и x ≠ − 1. Производные будут равны

При x = 0, соответственно, получаем

Следовательно, разложение в ряд записывается в виде

Полученное выражение называется биномиальным рядом.

Пример 6

Найти разложение в ряд Маклорена функции

. Решение. Используя формулу биномиального ряда, найденную в предыдущем примере, и подставляя

, получаем

7 8 9 10 11 12 13

Подборка статей по вашей теме: