Общие индексы переменного состава, постоянного или фиксированного состава и структурных сдвигов

Построение индексов прослеживается на следующем примере: имеется данные о трудоемкости единицы продукции на дочерних ООО, входящих в ОАО под названием «Эжва»

Номер ООО предприятия	Базисный период	Отчетный период	Индивидуальный индекс трудоемкости
Выработка продукции	Трудоемкость Чел.-час Ед.	Выработка продукции	Трудоемкость Чел.-час Ед.
Всего (ед)	В % к итогу	Всего (ед)	В % к итогу
Обозначение	q0	d0	t0	q1	d1	t1
А
Б
В
Итого

Графы 2 и 5 вычислены с точностью 2 знака после запятой.

В самом общем случае величина индекса переменного состава представляет собой отношение средней величины показателя, взятого в отчетном периоде, к показателю, взятому в базисном периоде, то есть для нашего примера величина индекса переменного состава для показателя времени может быть рассчитана по формуле (19)

Величина индекса говорит о том, что в целом по совокупности ОАО показатель t в отчетном периоде составляет 0,872 от средней величины его уровня в базисном периоде.

Средние величины в формуле общего индекса (19) могут быть найдена простая средняя арифметическая по формуле (20) и (21)

Одновременно величина 0,872, рассчитанная по формуле (19) находится в противоречии с теорией средних. Одно из правил гласит, что средняя величина не может быть меньше меньшего значения или больше большего значения, входящего в совокупность.

Данный пример демонстрирует наличие т. н. статистического парадокса. Рассчитанные по формулам (19), (20), (21) величины доказывают, что величина показателя трудоемкости по трем предприятиям t изменяется под воздействием двух факторов:

1. Изменение частных средних в данном примере индивидуальных уравнений трудоемкости t.

2. Изменение удельного веса каждого предприятия в общем объеме произведенной продукции.

Таким образом после исчисления индекса переменного состава необходимо решить две задачи:

1. Выявить в каком размере изменения частных средних повлияют на повышение или понижение среднего показателя в целом по совокупности.

2. Изучить влияние изменения удельного веса каждого элемента, входящего в совокупность на изменение средней величины в целом по совокупности.

Для решения первой задачи в статистике исчисляется т. н. индекс постоянного состава или индекс фиксированного состава (22)

, где числитель рассчитывается как (23), а знаменатель – (24)

Формулы (20) и (23) идентичны.

Находим индекс постоянного состава.

Величина индекса постоянного состава I_t = 0.904 говорит о том, что показатель t в отчетном периоде составляет 0,904.

От показателя t в базисном периоде или показатель снизился на 9,6 % и данное изменение произошло под влиянием изменений только лишь индивидуальных уровней показателя t. Величина данного индекса находится также в полном соответствии с теорией средних, то есть находится между большим и меньшим значениями индивидуального индекса показателя t.

0,889 < 0.904 < 0.929

Сравнение данного индекса постоянного состава с индексом переменного состава J_{t ср.} = 0,872 показывает, что другой фактор, а именно изменение структуры оказало влияние на изменение результируещего показателя.

В данном случае средняя трудоемкость по трем предприятиям вместе или в целом по ОАО дополнительно снижается из-за изменения удельного веса каждого предприятия в общей совокупности.

Для исчисления степени влияния данного фактора на изменение средней величины рассчитаем индекс структурных сдвигов по формуле (25), где числитель вычисляется как (24), а знаменатель – (26).

Формулы (21) и (26) идентичны.

Определить индекс структурных сдвигов

Величина индексов структурных сдвигов указывает на то, что в результате изменений удельных весов, или долей, каждого предприятия в общем объеме произведенной продукции, средняя величина показателя t или трудоемкости, дополнительно снизилась в отчетном периоде по сравнению с базисным в 0,965 раза или на 3,5 %.

Между индексами переменного состава и структурных сдвигов существует соотношение. Произведение индекса постоянного состава на индекс структурных сдвигов равно индексу переменного состава.

Соотношение (27)

Выводы: Средняя трудоемкость в целом по совокупности снизилась в 0,872 раза причем это изменение произошло в результате уменьшения индивидуальных уровней показателя в 0,904 раза, что показывает индекс постоянного состава и дополнительно средняя величина уменьшилась в 0,965 в соответствии с расчетами индекса структурных сдвигов.