Погрешности многократных прямых измерений

Пусть изучается физическая величина и многократными измерениями получены результатов наблюдений

причем все измерения выполнены одним и тем же методом и с одинаковой степенью тщательности. Этот ряд значений величины называется выборкой. Предположим, что на результат измерений оказывают действие только случайные (неконтролируемые) факторы, а промахи и систематические ошибки отсутствуют.

Задача экспериментатора состоит в том, чтобы найти наилучшую оценку и доверительную погрешность результата измерений для заданного значения доверительной вероятности. (При обработке экспериментальных результатов можно поступать и по–другому: произвольно задавать значение доверительной погрешности и вычислять соответствующее ей значение вероятности). Указанная задача строго решается с помощью теории вероятностей и математической статистики.

В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются установленному Гауссом нормальному закону распределения, вид которого может быть получен на основании следующих предположений:

1) величина случайной погрешности может иметь любое значение;

2) вероятность появления погрешности снижается с ростом ее величины – большие погрешности маловероятны;

3) погрешности, равные по величине, но разные по знаку, встречаются одинаково часто – равные по модулю погрешности равновероятны.

Выведенный на основе указанных предположений закон нормального распределения случайных величин (распределение Гаусса) выражается формулой

, (3)

где – числовое значение определяемой величины , и – параметры распределения; – плотность вероятности (вероятность того, что значение принадлежит некоторому единичному интервалу значений), так что функция определяет вероятность попадания значения в интервал от до .

Параметр , соответствующий максимуму плотности вероятности , называется математическим ожиданием случайной величины . Параметр называется средним квадратическим отклонением величины от ее математического ожидания и характеризует меру ее разброса относительно . Очевидно, что

т.е. вероятность того, что случайная величина вообще имеет какое–то значение, равна единице.

Поскольку максимальное значение плотность вероятности

принимает при

, то величину

часто считают приблизительно равной истинному значению измеряемой величины. На рис.

представлен график этой функции. Из вышесказанного ясно, что площадь заштрихованной фигуры численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадает в интервал от

до

Рис.1. Нормальное (гауссово) распределение

(1 – s=1, 2 – s=1/2, 3 – s=1/4).

Из теории следует, что наилучшей оценкой истинного значения измеряемой случайной величины является среднее арифметическое (выборочное среднее) значение

. (4)

Заметим также, что с увеличением значения увеличивается разброс отсчетов, т.е. точность измерений понижается. В условиях реального эксперимента точное значение , как правило, неизвестно. По многократным измерениям можно получить приближенную оценку этого параметра в виде с реднеквадратичной погрешности отдельного результата измерения

, (5)

которая характеризует ошибку каждого отдельного измерения и при неограниченном увеличении числа наблюдений () стремится к истинной среднеквадратичной ошибке .

Если произвести несколько серий многократных измерений, т.е. получить несколько выборок и для каждой вычислить выборочное среднее, то получим выборку для новой случайной величины , которая также распределена нормально с математическим ожиданием . Однако параметр меньше, чем :

Это означает, что выборочное среднее имеет приблизительно в меньший разброс, чем единичное измерение . Поэтому для оценки лучше использовать выборочное среднее и с реднеквадратичную погрешность среднего арифметического результата измерения, которая вычисляется по формуле

, (6)

В выражениях (5) и (6) обозначение среднеквадратичной ошибки заменено на обозначение , чтобы подчеркнуть, что величины и вычисляются на основе ограниченного числа наблюдений, т.е. являются эмпирическими оценками теоретических параметров и .

При проведении реальных технических измерений число отдельных измерений, как правило, невелико и лежит в пределах от до . В такой ситуации рассмотренный метод приводит к существенному искажению результатов. В теории погрешностей при малом числе измерений применяют специальный метод вычисления доверительного интервала, основанный на распределении Стьюдента. В 1908 г. английский математик У. Госсет (псевдоним ’’Стьюдент’’) доказал, что указанными соотношениями можно пользоваться и при небольшом числе наблюдений

(), следует только на конечной стадии ввести в расчет специальный коэффициент, величина которого зависит от числа наблюдений и требуемого значения доверительной вероятности , – так называемый коэффициент Стьюдента .

Таблица 1

Коэффициенты Стьюдента .


0,68	0,80	0,90	0,95	0,98	0,99
	2,0	3,1	6,3	12,7	31,8	63,7
	1,3	1,9	2,9	4,3	7,0	9,9
	1,3	1,6	2,4	3,2	4,5	5,8
	1,2	1,5	2,1	2,8	3,7	4,6
	1,2	1,5	2,0	2,6	3.4	4,3
	1,1	1,4	1.9	2,4	3,1	4,0
	1,1	1,4	1,9	2,4	3,0	3,7
	1,1	1,4	1,9	2,3	2,9	3,4
	1,1	1,4	1,83	2,26	2,8	3,35
	1,0	1,3	1,7	2,0	2,4	2,7
	1,0	1,3	1,64	1,96	2.3	2,58