Теоретические основы работы. Унифилярный подвес (крутильный маятник) предназначен для изучения динамики крутильных колебаний, определения моментов инерции твердых тел и упругих

Унифилярный подвес (крутильный маятник) предназначен для изучения динамики крутильных колебаний, определения моментов инерции твердых тел и упругих характеристик материала при кручении.

Крутильный маятник (рис.11.1) состоит из рамки, закрепленной на растяжках (тонких упругих проволоках). В рамке может быть закреплено твердое тело с центром масс, лежащим на оси вращения. Если повернуть рамку на малый угол j от положения равновесия и отпустить, то она начнет совершать гармонические крутильные колебания.

Движение рамки с телом можно описать, используя основное уравнение вращательного движения твердого тела в проекции на ось вращения

.

Здесь I – момент инерции рамки с телом; e - угловое ускорение, - алгебраическая сумма моментов сил, действующих на рамку при ее вращении относительно неподвижной оси.

Положим, что сопротивление воздуха при движении рамки мало. Тогда на рамку действуют только моменты упругих сил со стороны растяжек l ₁ и l ₂. Основное уравнение вращательного движения в этом случае имеет вид

(115.1)

(здесь e=d²j/dt²). Отметим, что возникающие при вращении моменты упругих сил таковы, что их действие ведет к уменьшению угла j.

Для линейно-упругого тела момент сил упругости при малых деформациях кручения можно записать в виде

M=- kj (11.2)

(знак «минус» показывает, что моменты сил упругости препятствуют повороту рамки из положения равновесия). Здесь k- постоянная для данной проволоки величина, называемая модулем кручения. Модуль кручения зависит от материала проволоки, от ее геометрических размеров. В теории упругости получено следующее соотношение для k:

. (11.3)

Здесь r- радиус проволоки; l - длина проволоки; G- модуль сдвига (характеристика материала проволоки).

Здесь проволоки-растяжки создают в крутильном маятнике моменты упругих сил, равны соответственно

(11.4)

Здесь

(11.5)

Из (11.1), (11.4) и (11.5) получим

(11.6)

Уравнение (11.6) - дифференциальное уравнение гармонических крутильных колебаний. Его можно записать в виде

, (11.7)

где

. (11.8)

Непосредственной подстановкой убедимся, что решением уравнения (11.7) является j=j₀cosw₀t. Таким образом, w₀ – циклическая частота колебания, связанная с периодом колебаний соотношением w₀=2p/Т. Отсюда для периода гармонических крутильных колебаний получаем соотношение

. (11.9)