Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов.

Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения.

Смешанное произведение в правой декартовой системе координат равно определителю матрицы, составленной из векторов и :

В частности,

Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда, образованного векторами и знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

Теорема: векторно-скалярное произведение (АВС)=(А*В)С трёх некомпланарных векторов есть число, абсолютная величина которого выражает объём параллелепипеда, построенного на векторах А, В и С, как на рёбрах. Знак произведения положителен, если векторы А, В и С образуют систему, одноимённую с основной