Векторное произведение векторов, заданных проекциями

Обозначим через x₁,y₁,z₁ проекции вектора А, а через x₂,y₂,z₂ проекции вектора В. Выразим через них векторное произведение А*В:

АxВ=(ix₁+jy₁+kz₁)*(ix₂+jy₂+kz₂).

По распределительному свойству суммы векторов умножаются как многочлены:

АxВ=(i*i)x₁x₂+(j*i)y₁x₂+(k*i)z₁x₂+(i*j)x₁y₂+(j*j)y₁y₂+(k*j)z₁y₂+(i*k)x₁z₂+(j*k)y₁z₂+(k*k)z₁z₂. (1)

Так как I, j, k являются тремя взаимно перпендикулярными единичными векторами и вращение от j к k представляется с конца вектора i совершающимся против часовой стрелки, то:

.

Следовательно в полученном выражении (1) для АВ пропадут три слагаемых, остальные же соединятся попарно, и окончательная формула будет:

АxВ=i(y₁z₂-y₂z₁)+j(z₁x₂-z₂x₁)+k(x₁y₂-x₂y₁).

Последнюю формулу можно также записать в символический, лёгко запоминаемой форме, если воспользоваться понятием определителя 3-го порядка.

.

Вектор имеет координаты . Вектор имеет координаты . Тогда

Так как верна формула , то и следующая формула верна