Задание IV. Функция не имеет точек локального экстремума если:
13.
14.
15.
16.
Решение. Сначала проверяем выполнение необходимого условия наличия точек локального, а за тем достаточное условие наличия точек экстремума.
13. Находим точки подозрительные на экстремум. Для этого находим первые частные производные и составляем систему уравнений:
.
Имеем
Следовательно, система для определения точек подозрительных на экстремум имеет вид
Определитель этой системы отличен от нуля, поэтому система имеет единственное решение – одну точку подозрительную на экстремум.
Находим вторые производные и проверяем достаточное условие наличия точек локального экстремума. Имеем
,
Поэтому
Вывод. Функция не имеет точек локального экстремума.
Ответ: Да.
14. Находим первые частные производные
и составляем систему для нахождения точек подозрительных на экстремум:
Определитель этой системы отличен от нуля, поэтому система имеет единственное решение – одну точку подозрительную на экстремум.
|
|
Находим вторые производные и проверяем достаточное условие наличия точек локального экстремума. Имеем
,
Поэтому
Вывод. Функция имеет точку локального экстремума.
Ответ: Нет.
15. Находим первые частные производные
и составляем систему для нахождения точек подозрительных на экстремум:
Определитель этой системы отличен от нуля, поэтому система имеет единственное решение – одну точку подозрительную на экстремум.
Находим вторые производные и проверяем достаточное условие наличия точек локального экстремума. Имеем
,
Поэтому
Вывод. Функция не имеет точек локального экстремума.
Ответ: Да.
16. Находим первые частные производные
и составляем систему для нахождения точек подозрительных на экстремум:
.
Эта система имеет единственное решение. Поэтому точка является единственной точкой подозрительной на экстремум.
Находим вторые производные и проверяем достаточное условие наличия точек локального экстремума в точке . Имеем
,
Поэтому
Вывод. Функция имеет точку локального экстремума.
Ответ: нет.
Задание V. Функция ограничена на плоскости, если:
17.
18.
19.
20.
Решение. Функция ограничена, если найдутся числа и такие, что .
17. Утверждение неверно, так как, мы можем определить новую переменную и . Поэтому не существует чисел и таких, что .