2015-01-07
1029
Задание IV. Функция 
не имеет точек локального экстремума если:
13. 
14. 
15. 
16. 
Решение. Сначала проверяем выполнение необходимого условия наличия точек локального, а за тем достаточное условие наличия точек экстремума.
13. Находим точки подозрительные на экстремум. Для этого находим первые частные производные и составляем систему уравнений:
.
Имеем
Следовательно, система для определения точек подозрительных на экстремум имеет вид
Определитель этой системы отличен от нуля, поэтому система имеет единственное решение – одну точку подозрительную на экстремум.
Находим вторые производные и проверяем достаточное условие наличия точек локального экстремума. Имеем
, 
Поэтому
Вывод. Функция не имеет точек локального экстремума.
Ответ: Да.
14. Находим первые частные производные
и составляем систему для нахождения точек подозрительных на экстремум:
Определитель этой системы отличен от нуля, поэтому система имеет единственное решение – одну точку подозрительную на экстремум.
Находим вторые производные и проверяем достаточное условие наличия точек локального экстремума. Имеем
, 
Поэтому
Вывод. Функция имеет точку локального экстремума.
Ответ: Нет.
15. Находим первые частные производные
и составляем систему для нахождения точек подозрительных на экстремум:
Определитель этой системы отличен от нуля, поэтому система имеет единственное решение – одну точку подозрительную на экстремум.
Находим вторые производные и проверяем достаточное условие наличия точек локального экстремума. Имеем
, 
Поэтому
Вывод. Функция не имеет точек локального экстремума.
Ответ: Да.
16. Находим первые частные производные
и составляем систему для нахождения точек подозрительных на экстремум:
. 
Эта система имеет единственное решение. Поэтому точка 
является единственной точкой подозрительной на экстремум.
Находим вторые производные и проверяем достаточное условие наличия точек локального экстремума в точке . Имеем
, 
Поэтому
Вывод. Функция имеет точку локального экстремума.
Ответ: нет.
Задание V. Функция ограничена на плоскости, если:
17. 
18. 
19. 
20. 
Решение. Функция ограничена, если найдутся числа 
и 
такие, что 
.
17. Утверждение неверно, так как, мы можем определить новую переменную 
и 
. Поэтому не существует чисел и таких, что .
