Движение по окружности при криволинейном движении

Нормальное и тангенсальное ускорение.
Вывод и определение.
При криволинейном движении скорость направлена по касательной к траектории.
Поскольку направление скорости постоянно изменяется, то криволинейное движение - всегда движение с ускорением, в том числе, когда модуль скорости остается неизменным.
Составляющая ускорения, направленная вдоль скорости, называется тангенциальным ускорением. Она характеризует изменение скорости по модулю. вычисляется по формуле.

Это формула объясняется так:

- при движении по окружности, дуге или кривой мы можем взять отрезок настолько малый(при стремящемся к нолю()), что можем пренебречь искривлением дуги и рассчитывать ускорение как ускорение по прямой (черный вектор).

Вторая составляющая полного ускорения – нормальное или центростремительное ускорение, которое вычисляется по формулам:

;

Центростремительное ускорение всегда направлено перпендикулярно направлению скорости. Вывести эти формулы достаточно легко. (Способ Пачин И.М. c лекции.)

Рассмотрим окружность, по которой движется некоторое тело со скоростью из точки А. Через некоторый промежуток времени , точка изменит свое положение и окажется в точке B, скорость останется не изменой. Сделаем дополнительные построения: параллельно перенесем вектор начальной скорости в точку C но направим его в противоположную сторону (вектор – ). Построим вектор и . Тогда мы можем увидеть два подобных треугольника: ∆АВО и ∆BCD, доказать их подобие не сложно. Угол АОВ представим как альфа (), тогда два оставшихся угла равны 90- α /2 (т.к. образуется равнобедренный треугольник со сторонами АО и АВ равные радиусу(r)) обозначим их как бета(). Угол АОВ равен углу DСВ, поскольку рассматривая четырехугольник ОЕВС, сумма его противоположных углов ОВС и ОЕС равна 180, но угол ЕОС равен 180- α, отсюда следует что угол DCB равен α. А поскольку вектора и равны, следует, что треугольник равнобедренный, а значит два других его угла равны по , ч.т.д.

Тогда из подобия треугольников запишем отношение его сторон:
разделим обе части на ∆t, получим , где - ускорение, а – скорость получим следующее: выразив ускорение, получим . Ч.т.д.

Для нахождения полного ускорения представим их в векторном виде и посчитаем сумму векторов (составляющих) и , которая будет высчитываться по т. Пифагора: