Достижимости

Потенциальная предельная достижимость в задачах моделирования имеет два аспекта. Первый из них заключается в том, что использование математических моделей на всех уровнях моделирования для отражения процессов, протекающих в реальных радиосистемах, предполагает, что модельные представления не противоречат законам природы вообще и конкретным законам, присущим моделируемым компонентам и системам, в частности. Выполнение этого требования обязательно и может быть достигнуто различными путями: либо в самих моделях должна быть предусмотрена проверка соответствия результатов моделирования физическим законам, либо на параметры модели накладываются ограничения, автоматически обеспечивающие выполнение предельных фундаментальных законов.

В то же время при проектировании больших радиосистем необходимо представлять те предельные условия, за границы которых не могут выходить параметры проектируемой системы. Задача определения потенциальных характеристик систем решается с помощью моделей систем и компонентов потенциальной предельной достижимости. Существует ряд методологических подходов к построению таких моделей. Рассмотрим некоторые из них.

В одних случаях потенциальные математические модели компонентов радиосистем могут представляться в виде математических выражений, связывающих входные и выходные параметры компонента через запись физических и информационных законов, которые определяют основную суть преобразования информации, либо каких-то физических параметров в данном устройстве без учета мешающих факторов.

В других случаях математические модели компонентов представляются как некоторые логические высказывания, которым предписываются значения «истинно» или «ложно» в зависимости от того, выполняются или не выполняются некоторые критерии. В качестве основы для таких критериев выбираются физические законы, которым должны удовлетворять математические модели компонентов радиосистем.

Описываемое такими потенциальными моделями радиоустройство будет иметь ясную физическую интерпретацию, и его функционирование не будет противоречить фундаментальным законам природы. Состоящая из таких компонентных моделей модель системы будет функционировать с предельно возможными параметрами, удовлетворяющими предельным фундаментальным законам природы (законам сохранения энергии, второму началу термодинамики, возрастания энтропии и т.п.). Результаты моделирования могут использоваться для оценки характеристик эффективности проектируемой системы.

Разработчиков часто интересует проблема технической реализуемости системы, которая определяется прогнозируемым уровнем развития технического прогресса. Если условия потенциальной реализуемости компонентов радиосистемы могут быть предметом общетеоретических исследований в области физики и математики, то для технической реализуемости это существенно усложняется, поскольку конкретная технология может зависеть от таких ненаучных и субъективных факторов, как наличие определенной технологии, материальной базы, квалификации персонала и т.п. Отсюда следует, что если разработчиков системы интересуют предельные характеристики системы на данном уровне развития техники, в математических моделях компонентов системы следует установить проверку на соответствие параметров компонента реальным физическим устройствам, реализуемым по конкретным технологиям. В подав­ляющем большинстве случаев это достигается сравнением поведения компонента или его ближайшего аналога и его потенциальной модели в одинаковых условиях. Проверенное в результате эксперимента соответствие абстрактной модели реальному компоненту может использоваться, например, в качестве критерия истинности высказывания, которым интерпретируется потенциальная математическая модель компонента.

Рассмотрим в качестве примера модель потенциальной предельной достижимости для оптической системы связи, упрощенная структура которой показана на рис. 9.2. Система состоит из оптического передатчика, открытого оптического канала, оптического приемника и связей между ними. Будем рассматривать простейший случай передачи двоичной информации, в которой передатчик в дискретные моменты модельного времени t_i излучает импульс с оптической энергией или при передаче оптических нуля или единицы. После прохождения оптического импульса по каналу связи его энергия становится равной , которая и поступает на фотодетектор.

Рис. 9.2. Оптическая система связи

Рассмотрим потенциальную модель фотоприемного устройства. Если на фотодетектор падает оптическая энергия Е, то в нем образуются электронно-дырочные пары, причем их число определяется следующим распределением вероятности:

, (9.1)

где п — число генерируемых электронно-дырочных пар, h — постоянная Планка, hf — энергия фотона на частоте f.

Без утраты общности допустим, что даже при генерации одной электронно-дырочной пары ее можно зарегистрировать и интерпретировать как наличие импульса двоичной единицы. Тогда единственный вариант ошибки — отсутствие электронно-дырочных пар в детекторе при наличии излученного передатчиком оптического импульса. Вероятность такого события можно определить, положив в (9.1) п = 0:

. (9.2)

Это позволяет сформулировать потенциальную математическую модель фотоприемного устройства следующим образом: если энергия, поступившая из канала, , то фотоприемник срабатывает и выдает импульс двоичной единицы на своем электрическом выходе u(t) с вероятностью, равной р = 1 — 1*10^-9, иначе импульс на выходе отсутствует, что интерпретируется как передача двоичного нуля.

В приведенной потенциальной модели фотоприемного устройства сделаны следующие идеализации: пренебрежение фоновым шумом, т.е. при передаче двоичного нуля на фотоприемное устройство поступает нулевая энергия, отсутствие темнового тока в фотоприемнике, а также допущение о том, что даже одна электронно-дырочная пара может быть обнаружена и зарегистрирована как наличие оптического импульса.

Одним из наиболее распространенных передатчиков для оптических линий связи является светоизлучающий диод. Такие диоды представляют собой, по сути дела, широкополосные шумовые излучатели. Шумоподобный характер излучения диода определяет фундаментальный предел, являющийся основой для модели потенциальной предельной достижимости. Отсчеты светового поля на выходе источника шумоподобного сигнала с ограниченной шириной спектра, взятые в фиксированной точке в фиксированный момент времени, можно записать в виде

, (9.3)

где f — номинальная частота излучения диода, А и В — независимые гауссовы случайные переменные с нулевыми средними значениями и одинаковыми дисперсиями σ₀², u(t) — модулирующий двоичный сигнал.

Плотность мощности в данной точке в данный момент времени определяется как квадрат комплексной амплитуды поля: А ² + В ². Так как А и В — случайные величины, то плотность мощности также будет случайной величиной, среднее значение которой равно , а дисперсия — .

Выражение (9.3), определяющее распределение во времени выходной энергии передатчика при передаче двоичного нуля или единицы в соответствии со значением u (t_i), можно использовать как потенциально достижимую модель передающего устройства. Ясно, что в случае модуляции такого шумоподобного излучения двоичным сигналом его выходная энергия определяется случайным распределением A (t_i)и В (t_i). Если импульс логической единицы будет достаточно коротким, т.е. модуляция осуществляется высокими частотами, то энергия сигнала на выходе передатчика, определяемая (9.3), может оказаться соответствующей нулевому сигналу, что и определяет фундаментальное ограничение для передающего устройства оптической системы связи.

Рассмотрим теперь модель потенциальной предельной достижимости для открытого оптического канала связи. В открытых оптических каналах связи фундаментальное ограничение на модель налагается дифракцией. Минимальная расходимость светового излучения передатчика даже при идеальной пространственной когерентности определяется соотношением λ /D _п, где λ— длина волны оптического излучения, a D _п— апертура передающей линзы. Так, при заданных диаметрах передающей линзы D _пи линзы фотоприемника D_ф коэффициент передачи оптического канала длиной d можно найти по формуле

, (9.4)

где три члена в правой части равенства представляют собой усиление передающей линзы, приемной линзы и потери при распространении в канале.

При выводе уравнения математической модели потенциальной предельной достижимости для оптического канала (9.4) в качестве допущений было принято, что оптический передатчик, фотоприемное устройство и обе линзы расположены на одной оптической оси, а искажения светового пучка из-за турбулентности атмосферы и несовершенства линз не происходит.

Используя полученные выше потенциальные модели компонентов оптической системы связи (9.2)—(9.4), можно организовать имитационное моделирование работы такой системы (методом Монте-Карло) и определить предельно возможные вероятности правильного функционирования, на которые могут ориентироваться разработчики при проектировании реальной системы.

В настоящее время модели потенциальной предельной достижимости получают широкое распространение, ведется разработка теоретических основ построения подобных моделей [25],проводятся практические исследования и определяются фундаментальные пределы в различных областях радиоэлектроники.