Билет 16. Основы механики деформируемых сред

Вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний. Его решение. Процесс установления колебаний.

Время релаксации - характерное время установления равновесия в системе.

Уравнение вынужденных колебаний: x’’+ 2γx’ + ω02x = f0 sin(ωt) (1)

Решение.

По прошествии времени релаксации: x =X sin (ωt+φ). X=? φ=?

x’ = ωXcos (ωt+φ); x’’ = -ω2 X sin (ωt+φ);

Подставляем в (1): -ω2 X sin (ωt+φ) + 2γ ωXcos (ωt+φ) + ω02 X sin (ωt+φ) = f0 sin(ωt)

При ωt = 0: -ω2 X sin (φ) + 2γ ωXcos (φ) + ω02 X sin (φ) = 0;

tg φ = -2γ ω/ ω02- ω2

1/sin2φ=1+ tg2 φ;

При ωt = π/2: 2γ ωX = - f₀ sin(φ);

X=- f0 sin(φ)/ 2γ ω;

В общем виде x = X₀ e^-γt sin (ω₁t+φ) + X sin (ωt+φ).

Вынужденные колебания под действием гармонической внешней силы. Если на систему постоянно действует постоянно меняющаяся внешняя, зависящая от времени сила, то такие колебания наз. вынужденными.

mx``=-Dx-bx`+F₀coswt

x``+2gx`+w₀²x=(F₀/m)coswt