Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.
Уравнение (11.7) содержит х и у только в четных степенях, поэтому если точка принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки , , . Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей и , а также относительно точки , которую называют центром эллипса.
Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив , находим две точки и , в которых ось пересекает эллипс (см. рис. 50). Положив в уравнении (11.7) , находим точки пересечения эллипса с осью : и . Точки A 1, A2, B1, B2 называются вершинами эллипса. Отрезки A 1 A2 и B1B2, а также их длины 2 a и 2 b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.
3. Из уравнения (11.7) следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е. имеют место неравенства и или и . Следовательно, все точки эллипса.лежаї внутри прямоугольника, образованного прямыми .
В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых и равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т. е. если возрастает, то уменьшается и наоборот.
|
|
Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 50 (овальная замкнутая кривая).