Дополнительные сведения об эллипсе

Форма эллипса зависит от отношения .При эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса (11.7) принимает вид . В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением . Отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и o6oзначается буквой ε («эпсилон»):

(11.8)

причем 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным; если положить ε = 0, то эллипс превращается в окружность.

Пусть М(х;у) -- произвольная точка эллипса с фокусами F₁ и F₂ (см. рис. 51). Длины отрезков F₁M=r₁ и F₂M = r₂ называются фокальными радиусами точ­ки Μ. Очевидно,

Имеют место формулы

и

Прямые называются

Теорема 11.1. Если — расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса:

Из равенства (11.6) следует, что . Если же , то уравнение (11.7) определяет эллипс, большая ось которого лежит на оси Оу, а малая ось — на оси Ох (см. рис. 52). Фокусы такого эллипса находятся в точках и , где .

14. Гипербола