Общее уравнение плоскости

Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида

A x+ B y+ C z+ D= 0

где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение плоскости в отрезках

Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках

x	+	y	+	z	= 1
a	b	c

Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору нормали

Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M(x₀, y₀, z₀) и вектора нормали плоскости

n = {A; B; C} можно использовать следующую формулу.

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

Если заданы координаты трех точек A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) и C(x₃, y₃, z₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле

x - x1	y - y1	z - z1	= 0
x2 - x1	y2 - y1	z2 - z1
x3 - x1	y3 - y1	z3 - z1

Угол между прямыми, плоскостями, плоскостью и прямой, расстояние от точки до прямой и до плоскости.

Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному нормальными векторами этих плоскостей.

Определение.

Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному прямыми l₁ и l₂, лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линии пересечения плоскостей

Формула для вычисления угла между плоскостямиЕсли заданы уравнения плоскостей A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, то угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

cos α =	|A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|
√A12 + B12 + C12√A22 + B22 + C22

Пример 1.

Найти угол между плоскостями 2x + 4y - 4z - 6 = 0 и 4x + 3y + 9 = 0.

Решение. Подставим в формулу вычисления угла между плоскостями соответствующие коэффициенты:

cos α =	|2·4 + 4·3 + (-4)·0|	=	|8 + 12|	=		=
√22 + 42 + (-4)2√42 + 32 + 02	√36√25

Ответ: косинус угла между плоскостями равен cos α= =		.

Определение.

Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости

Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(M_x, M_y) до прямой можно найти, используя следующую формулу

d =	|A·Mx + B·My + C|
√A2 + B2

Пример 1.

Найти расстояние между прямой 3x + 4y - 6 = 0 и точкой M(-1, 3).

Решение. Подставим в формулу коэффициенты прямой и координаты точки

d =	|3·(-1) + 4·3 - 6|	=	|-3 + 12 - 6|	=	|3|	= 0.6
√32 + 42	√9 + 16

Ответ: расстояние от точки до прямой равно 0.6.

Определение.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Формула вычисления угла между прямой и плоскостью

Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L

s = {l; m; n}

и уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0,

то угол между этой прямой и плоскостью можно найти используя формулу

sin φ =	| A · l + B · m + C · n |
√A2 + B2 + C2 · √l2 + m2 + n2

Пример 1.

Найти угол между прямой

x - 4	=	y + 2	= -	z - 6

и плоскостью x - 2y + 3z + 4 = 0.