Наибольшее и наименьшее значение функции

Пусть функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а; b]. Как известно,

такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений.иЭти значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка [а; b], либо на границе отрезка, т. е. при = а или = b. Если Є (а; b), то точку следует искать среди критических точек данной функции.

Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на [а; b]:

1) найти критические точки функции на интервале (а; b);

2) вычислить значения функции в найденных критических точках;

З) вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках

х = а и х = b;

4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечания: 1. Если функция у = f(x) на отрезке [а; b] имеет лишь

одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

2. Если функция у = f(x) на отрезке [а;b] не имеет критических

тjчек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение (М) функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее (m) - на другом.

Пример: Найти наибольшее и наименьшее значения функции

f (х) = + + 1 на отрезке [-2; 1].

Решение: Находим критические точки данной функции:

f'(х) = + = (х + 1);

f''(х) = 0 при = 0 Є [-2; 1] и при = -1 Є [-2; 1]. Находим f(0) = 1,

f(-1) = 3-4+ 1 = 0,f(-2) = 48-32+.1 = 17, f(1) = 8. Итак, = 17

в точке x = -2, = 0 В точке x = -1.