Выпуклость и вогнутость, точки перегиба. Асимптоты графика функции

Асимптоты. Общая схема исследования функции.

График функции y=f(x) назыв. выпуклым (вверх) на отрезке [a,b], если он расположен ниже касательной. Для дифференцируемой на [a,b] функции график расположен ниже любой касательной; для недифференцируемой функции график расположен выше хорды((a, f(a) и (b, f(b))).

График функции назыв. вогнутым (выпуклым вниз) на [a,b], если он расположен выше касательной (ниже хорды). Если в левой U() график функции выпуклый в одну сторону, а в правой окрестности в другую сторону, то -точка перегиба.

Если функция y=f(x) дважды дифференцируема на [a,b] и для любых , то график является выпуклым вниз(вогнутым). Если , то график является выпуклым. Достаточное условие точки перегиба: Пусть f - дважды дифференцируемая функция в окрестности и или не существует. Если при этом для любых , а для любых , то - точка перегиба.

Асимптоты. При исследовании поведения графика функции либо в бесконечности, либо вблизи точек разрыва второго рода часто оказывается, что график приближается к некоторой прямой линии. Другими словами, расстояние между точками графика функции и точками прямой линии, измеренные по вертикали и горизонтали, стремится к нулю. Такие прямые линии – асимптоты графика функции. Бывают вертикальные (точки разрыва 2ого рода), либо наклонные (поведение функции в бесконечности). Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной. Непрерывные функции не имеют вертикальных асимптот. Для того, чтобы график функции y=f(x) имел наклонную асимптоту y=kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы . Общая схема исследования функции. 1. Находим область определения D(x). 2. Находим точки разрыва второго род, обозначаем вертикальные асимптоты. 3. Исследуем функцию на четность/нечетность, периодичность. 4. Находим точки пересечения с Ox и Oy. С Ox: x=o, y-?.COy: y=0, x-? 5. Находим наклонные асимптоты, если они есть. 6. Исследуем функцию на наличие критических точек. Решаем уравнение . 7. Определяем промежутки монотонности. 8. Находим вторую производную и точки, для которых она равна 0 или не существует. 9. Находим промежутки знакопостоянства второй производной. 10. Составляем таблицу. 11. на основе таблицы определяем точки локального экстремума и точки перегиба.