Теоремы о дифференцируемых функциях. Теоремы Ферма, Ролля

Теорема Ферма.
Если функция у = f (х), определенная в интервале (а; b), достигает в некоторой точке с этого интервала наибольшего (или наименьшего) значения и существует производная f ′(с), то f ′(с) = 0.

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что касательная к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой с параллельна оси абсцисс (рис.).

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Решение.

Найдем , и точки, где .

, если .

Обе точки принадлежат рассматриваемому интервалу.

Найдем и и сравним полученные результаты.

Пример 5.1 Функция имеет на отрезке точку минимума . Производная функции существует при всех : . В точке минимума производная, действительно, оказывается равной 0: , так что утверждение теоремы Ферма выполнено.

Теорема Ролля. Если функция у = f (х), непрерывная на отрезке [ а; b ] и дифференцируемая в интервале (а; b), принимает на концах этого отрезка равные значения f (a) = f (b), то в интервале (а; b) существует такая точка с, что f ′(с) = 0.
Геометрически эта теорема означает следующее: если крайние ординаты кривой у = f (х) равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис.).

Пример 1. Докажем, что между двумя нулями дифференцируемой функции лежит, по крайней мере, один нуль ее производной.