Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной

Пусть функция зависит от переменной и дифференцируема в точке . Может оказаться, что в точке дифференциал , рассматриваемый как функция от , есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции . Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

Дифференциалом-го порядка функции называется дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции, то есть

Случай независимой переменной

Пусть - функция независимой переменной , имеющая дифференциалы любого порядка. Первый дифференциал функции

где - некоторое приращение независимой переменной , которое мы задаем сами и которое не зависит от . По определению

Переменной является аргумент . Значит, для дифференциала величина является постоянной и поэтому может быть вынесена за знак дифференциала. То есть дифференциал второго порядка

Для вычисления дифференциала применим формулу дифференциала первого порядка к функции . Тогда получим:

Итак,

Рассматривая последовательно дифференциалы все более высокого порядка, получим формулу дифференциала -го порядка:

Задание. Найти дифференциал третьего порядка функции

Решение. По формуле

Найдем третью производную заданной функции:

Тогда

Ответ.

Пусть в интервале (a, b) задана функция f (x) и в каждой точке x Î (a, b) существует производная f '(x). Таким образом в интервале (a, b) задана функция y = f '(x).

Если первая производная функция y = f '(x) дифференцируема в интервале (a, b), то ее производная называется второй производной функции f (x).

Вторая производная обозначается символами f ''(x) или

d 2 f

dx 2

.

Вообще, производной n–го порядка функции f (x), называется производная от производной функции f (x) (n − 1)–го порядка. Производная n –го порядка обозначается f ⁽ⁿ⁾ (x).

Замечание. Если речь идет о производной n –го порядка (n = 2, 3, …) в фиксированной точке x ₀, то для существования f ⁽ⁿ⁾ (x ₀) необходимо существование f ^{(n − 1)} (x) не только в точке x ₀, но и в некоторой ее окрестности. При этом условии

f (n) (x 0) = d dx f (n − 1) (x 0).

Функция, имеющая в точке производную n –го порядка, называется n раз дифференцируемой в этой точке.

Функция, имеющая в точке производные всех порядков, называется бесконечно дифференцируемой в этой точке.

Формулы для производных n –го порядка суммы и произведения функций

Если функции u (x) и v (x) n раз дифференцируемы на некотором промежутке, то производная n –го порядка суммы определяется формулой

(u + v)(n) = u (n) + v (n),

а производная n –го порядка произведения определяется формулой Лейбница

(u · v)(n) = u (n) · v + n u (n − 1) · v ' + n (n − 1) 2! u (n − 2) · v '' + … + u · v (n).

Формула Лейбница может быть записана в виде

(u · v)(n) = n ∑ k = 0 Cnk · u (n − k) v (k),

где u ⁽⁰⁾ = u (x), v ⁽⁰⁾ = v (x) и C_n^k =

n!

k! (n − k)!

— биномиальные коэффициенты.