Решение. Пусть x1 и x2 (x1 < x2) — нули дифференцируемой функции y = f(x), т.е

Пусть x ₁ и x ₂ (x ₁ < x ₂) — нули дифференцируемой функции y = f (x), т.е. f (x ₁) = f (x ₂) = 0.

Тогда на отрезке [ x ₁, x ₂] функция y = f (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

f (x) непрерывна на отрезке [ x ₁, x ₂], так как она дифференцируема на этом отрезке;

f (x) дифференцируема в интервале (x ₁, x ₂), так как она дифференцируема на отрезке [ x ₁, x ₂];

на концах отрезка [ x ₁, x ₂] f (x) принимает равные значения.

Следовательно, по теореме Ролля существует, по крайней мере, одна точка c Î (x ₁, x ₂), в которой f '(c) = 0.

30.Теоремы Лагранжа и Коши о дифференцируемых функциях.

Теорема Лагранжа. Если функция у = f (х) непрерывна на отрезке [ а; b ] и дифференцируема в интервале (а; b), то в этом интервале найдется такая точка с, что

Эта теорема имеет простой геометрический смысл (рис.): на графике функции у = f (х) между точками А и В найдется такая внутренняя точка С, что касательная к графику в точке С параллельна хорде АВ.

Следствие. Если f ′(x) = 0 в интервале (а; b), то в этом интервале функция f (х) постоянна.

Пример 13.2. На кривой найти точку, в которой скорость изменения имеет среднее значение на отрезке .

Решение. Запишем формулу Лагранжа с учетом, что и .

,

т.е. близко к середине отрезка . Число 364 – это скорость. Она может измеряться в км/ч, если x измеряется в часах, y в километрах; руб./мес., если y – это деньги, x – время в месяцах и т.д.

Теорема Коши. Если функции f (х) и g (х): 1) непрерывны на отрезке [ а; b ];

2) дифференцируемы в интервале (а; b);

3) g' (x) ≠ 0 в этом интервале,

то в интервале (а; b) существует такая точка с, что имеет место равенство