Методы интегрирования

Основное содержание различных методов нахождения интегралов состоит в сведении искомого интеграла к табличному или сумме интегралов. В простейших случаях это удается сделать, используя лишь эквивалентные преобразования подынтегральной функции и, если необходимо, свойства интегралов.

1. Метод замены переменной

Пусть - функция, непрерывно дифференцируемая на рассматриваемом промежутке. Тогда

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Пример 1. Найти интеграл .

Решение. Сделаем замену , тогда , следовательно .

Тогда .

2. Метод интегрирования по частям

Пусть и - непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула:

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Пример 2. Найти интеграл .

Решение. Пусть , . Тогда ,

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

Для нахождения последнего интеграла вновь применим формулу интегрирования по частям, сделаем замену , . Тогда , .

Тогда .

Следовательно, искомый интеграл равен

3. Интегрирование рациональных выражений

Рассмотрим способы нахождения интегралов вида , где и - некоторые многочлены от переменной х.

Пусть знаменатель допускает разложение на линейные множители:

где при и - положительные целые числа. В этом случае дробь допускает представление в виде суммы простейших дробей:

где - некоторые неизвестные числа. Поэтому рассматриваемый метод интегрирования называется методом неопределенных коэффициентов.

В случае, когда многочлен не допускает разложения на линейные множители, в выражении дополнительно содержатся сомножители вида , тогда разложение дроби дополнительно содержит слагаемые вида

Пример 3. Найти интеграл .

Решение. Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Таким образом, , т.е.,

Разложение подынтегральной функции имеет вид:

Для первого интеграла преобразуем функцию под знаком дифференциала: , для второго – выделим полный квадрат в знаменателе и воспользуемся заменой переменной , тогда .