2015-01-21
652
Определение 1. Объединением множеств 
и 
называется множество 
, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств или .
Используя логическую символику, объединение двух множеств можно записать так:
.
 |
Примеры.
1) 
, 
, 
.
2) 
, 
, 
.
3) 
, 
.
Определение 2. Пересечением множеств и называется множество 
, состоящее из элементов, принадлежащих как множеству , так и множеству .
Используя логическую символику, можно записать
.
Если 
, то говорят, что множества и не пересекаются.
Примеры.
1) , , 
.
2) , , 
.
3) , 
.
Операции объединения и пересечения обладают следующими свойствами:
1. Коммутативности:
а) 
; б) 
.
2. Ассоциативности:
а) 
; б) 
.
3. Дистрибутивности:
а) 
;
б) 
.
4. а) 
; б) 
.
5. Если 
, то а) 
; б) 
.
6. а) 
; б) 
.
Доказательство свойства 3а)
Пусть 
и 
и , либо 
и либо 
, либо 
. (*)
Обратно, пусть 
либо , либо 
или и , или и либо либо , и 
и 
. (**)
Из условий (*), (**) следует справедливость равенства 3а), т.е.
.
Упражнение. Доказать самостоятельно свойства 3б), 5, 6.
Понятия объединения и пересечения двух множеств обобщаются на случай произвольного числа множеств.
Пусть 
– множество индексов и каждому индексу 
сопоставлено множество 
. Множество 
, элементами которого являются множества , 
называют системой или семейством множеств.
Определение 3. Объединением системы множеств , называется множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств системы и обозначается
.
Пример. 
.
Определение 4. Пересечением системы множеств , называется множество всех элементов, содержащихся в каждом множестве системы и обозначается
.
Пример. 
.
Определение 5. Разностью множеств и называется множество, состоящее из тех элементов , которые не входят в : 
.
Если 
, то разность называется дополнением множества в .
Часто приходится рассматривать тот или иной запас множеств, являющихся подмножествами некоторого основного множества 
(будем называть его универсальным). В этом случае 
называется просто дополнением множества и обозначается 
.
Примеры.
1) 
, 
, 
, 
.
2) 
, 
; 
, 
.
3) 
.
4) Доказать принцип двойственности: для любых двух множеств 
справедливы равенства
а) 
; б) 
,
т.е. дополнение объединения двух множеств равно пересечению их дополнений, дополнение пересечения двух множеств равно объединению их дополнений.
Докажем а). Пусть 
. (*)
Обратно, пусть 
. (**)
Из условий (*), (**) следует равенство
.
Упражнение. Доказать самостоятельно равенство 4б).
