2015-01-21
4303
Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты
воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды (см. § 140). Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис. 203).
Pис. 203
Так как векторы 
и 
вращаются с одинаковой угловой скоростью 
, то разность фаз 
между ними остается постоянной.
Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет
(144.1)
В выражении (144.1) амплитуда А и начальная фаза 
соответственно задаются соотношениями
(144.2)
Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (
) складываемых колебаний.
Проанализируем выражение (144.2) в зависимости от разности фаз ():
1) = ±2 m 
(m = 0, 1, 2,...), тогда А = А 1 + А 2, т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний;
2) = ± (2 m + 1) (m = 0, 1, 2,...), тогда A = 
, т.е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний.
Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.
Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны 
и 
, причем 
<< . Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:
Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе /2 << , найдем
. (144.3)
Получившееся выражение есть произведение двух колебаний. Так как << , то сомножитель, стоящий в скобках, почти не изменяется, когда сомножитель cos t совершит несколько полных колебаний. Поэтому результирующее колебание х можно рассматривать как гармоническое частотой , амплитуда А б которого изменяется по следующему периодическому закону:
(144.4)
Частота изменения А б в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т.е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний: 
. Период биений
Рис. 204
Характер зависимости (144.3) показан на рис. 204, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания (144.3), а огибающие их — график медленно меняющейся по уравнению (144.4) амплитуды.
Определение частоты тона (звука определенной высоты (см. §158)) биений между эталонным и измеряемым колебаниями — наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.
Любые сложные периодические колебания s = f (t) можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте :
(144.5)
Представление периодической функции в виде (144.5) связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье (Ж. Фурье (1768—1830) — французский ученый). Члены ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами , 2 , З ,..., называются первой (или основной), второй, третьей и т. д. гармониками сложного периодического колебания.
