Системы уравнений, используемые в эконометрике

Отдельно взятое уравнение множественной регрессии не всегда адекватно характеризует сложное экономическое явление. Это связано, прежде всего, с наличием внешних факторов, которые одновременно воздействуют на регрессоры и объясняемые переменные. В результате выбранные переменные оказывают взаимное влияние друг на друга: изменение одних влечет изменения других. При этом порой трудно даже определить, какая из переменных является регрессором, а какая независимой переменной.

Обратимся к классическому примеру. Как известно, формирование предложения и спроса товара осуществляется в зависимости от его цены и дохода населения : ; . Поэтому, анализируя спрос и предложение отдельно друг от друга, мы можем считать и объясняемыми переменными, а цену и величину дохода – факторами. В таком случае вполне уместно использовать регрессионные модели в виде одного уравнения.

Ситуация принципиально меняется в случае рассмотрения взаимодействия (равновесия) спроса и предложения. В этом случае к уравнениям предложения и спроса добавляется балансовое равенство и, кроме того, наблюдаемое значение – это равновесная цена, которая формируется одновременно со спросом и предложением. Поэтому здесь объем спроса и предложения и равновесная цена рассматриваются уже в качестве объясняемых переменных, а величина дохода – в качестве объясняющей переменной.

Таким образом, в результате одновременного действия внешних факторов модель множественной линейной регрессии может оказаться неполной. Поэтому при рассмотрении достаточно сложных экономических явлений приходится строить модель с помощью системы одновременных уравнений. В одних уравнениях такой системы одна и та же переменная может выступать в качестве объясняемой переменной, а в других быть регрессором.

Системой одновременных уравнений называется такая эконометрическая модель, которая представлена системой линейных уравнений, хотя бы одно из которых содержит случайную составляющую (уравнения, которые не содержат случайную составляющую, называются балансовыми). Регрессионные уравнения системы одновременных уравнений называются поведенческими.

В системе

(7.1)

описывающей равновесие между спросом и предложением, первое и второе уравнения являются поведенческими, а третье – балансовым.

Различают три типа эконометрических систем:

– система независимых уравнений;

– система рекурсивных уравнений;

– система взаимозависимых уравнений.

В системе независимых уравнений каждая из зависимых переменных y ₁, y ₂, …, y_n рассматривается как линейная функция от одних и тех же факторов x ₁, x ₂, …, x_m. Система независимых уравнений имеет вид:

(7.2)

Каждое из уравнений такой системы может рассматриваться самостоятельно, а потому параметризация системы сводится к оценке параметров каждого уравнения с помощью МНК.

Система рекурсивных уравнений определяется таким образом, что каждое ее уравнение в качестве факторов содержит все зависимые переменные предшествующих уравнений, а также переменные . Система имеет вид:

(7.3)

В таких моделях параметризация осуществляется последовательно (от первого уравнения к последнему) с помощью МНК.

Наиболее распространена в экономических исследованиях система взаимосвязанных (одновременных) уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях – в правую часть системы:

(7.4)

Для нахождения параметров уравнений системы (7.4) традиционный МНК неприменим, так как нарушаются модельные предположения:

1) факторы в системе (7.4) мультиколлинеарны;

2) случайные составляющие оказываются коррелированными с объясняющими переменными.

Если применить к уравнениям этой системы обычный метод наименьших квадратов, то получатся смещенные и несостоятельные оценки параметров. Поэтому для оценивания систем одновременных уравнений используются специальные методы.