Правила приближенных вычислений и оценка погрешностей при вычислениях

Обозначим через x и x_o точное и приближенное значение числа. Точность приближения характеризуется абсолютной погрешностью = приближенного числа x, равной абсолютной величине разности между точным и приближенным значениями числа. Абсолютная величина имеет лишь теоретическое значение, так как практически ее невозможно вычислить. Обычно абсолютную величину можно оценить сверху. Например, ошибка измерения не превосходит половины деления шкалы измерительного прибора. В связи с этим вводится понятие предельной абсолютной погрешности.

Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа называют любое число, не меньшее абсолютной погрешности данного числа, то есть любое число , для которого

(2)

Теоретически предельную погрешность следовало бы определить как наименьшее из таких чисел, которое можно получить при данном способе измерения (вычисления), но практическое определение такой величины невозможно. При определении предельной погрешности необходимо получить, возможно, меньшее ее значение. Например, если π = 3,14 (π = 3,14159.....), то неравенству удовлетворяет любое из чисел 1; 0.1; 0.01; 0.002. Естественно, что полагают =0,002

Абсолютная погрешность недостаточно полно характеризует точность приближения. Например, если расстояние между двумя городами будет измерено с абсолютной погрешностью в 10 м, то это будет очень хорошим результатом. Если с такой же абсолютной погрешностью измерена ширина улицы, то результат необходимо признать неприемлемым.

Абсолютную погрешность соотносят с измеряемой величиной.

Относительной погрешностью приближенного числа x_o, x_o ≠0, называется отношение абсолютной погрешности этого числа к его абсолютной величине, т.е.

=

Предельной относительной погрешностью называется отношение предельной абсолютной погрешности приближенного числа x_o, x_o ≠0, к его абсолютной величине

(3)

Часто относительную погрешность выражают в процентах

100%

В нашем примере или %

Далее рассмотрим только предельные погрешности, поэтому для краткости будет употреблять термин абсолютная (относительная) вместо терминов предельная абсолютная (относительная).

Рассмотрим некоторые особенности записи приближенных чисел. Если приближенное число x_o имеет абсолютную погрешность , то это значит, что точное значение x лежит в интервале [ x_o –∆ x_o, x_o+ ∆ x_o ]или записывается в виде .

Например, π =3.14±0.002. Это значит, что 3.138≤ π ≤ 3.142.

Для записи больших массивов данных (например, в таблицах) прибегают к использованию верных цифр в записи числа: цифра в десятичной записи числа называется верной, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит 5-ти единиц следующего (вправо) за ней разряда иначе цифра называется сомнительной.

Принято или выписывать только верные цифры, или явно указывать абсолютную погрешность. Во всех математических таблицах приведены только верные цифры.

Например, запись a = 3.56 обозначает, что абсолютная погрешность этого числа не превосходит 0.005.

При сохранении в записи лишь верных цифр возникают некоторые особенности в употреблении нулей, стоящих в конце записи числа:

а) если последней верной цифрой после запятой оказывается нуль, то он выписывается.

Например, если a = 2.74 и ∆_а = 5 10 ^-4 , то следует писать a = 2.740. Запись a =2.74обозначает, что ∆_а=0.005

б) если нули, стоящие в конце записи целого числа, оказываются сомнительными, то это отражается записью числа в виде произведения соответствующего числа, в записи которого имеются все верные цифры, на 10 в степени, равной количеству сомнительных нулей.

Например, если a = 25700 и ∆_а=35, то пишут a = 257 10²

Правила округления.

Если отбрасываемая часть числа меньше 5-ти единиц первого своего разряда, то последняя из оставляемых цифр не изменяется. Если же отбрасываемая часть больше 5-ти единиц своего первого разряда, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу.

Если отбрасываемая часть равна 5-ти единицам своего разряда, то последняя оставляемая цифра остается неизменной, если она четная и увеличивается на единицу в противном случае (правило четной цифры).

Например, если a = 2835, то после округления до десятков, записывается a = 2.84 10³ .

Если a = 2885, то после аналогичного округления записывают a =2.88 10³

При округлении отбрасываемая часть добавляется к абсолютной погрешности числа.

Например, если a = 23.754 и ∆_а =8 10^-4 , то после округления a =23.75 и

∆_а =8 10^-4+4 10^-3=5 10^-3

Преобразуем формулу (1). Введем абсолютные (точнее, предельные абсолютные) погрешности метода ∆_мет, неустранимую ∆_неустр и округления ∆_окр как числа, удовлетворяющие неравенствам:

A(x) - ; - Ã(x_o) ;

Ã(x_o) -

Из формулы (1) и свойств абсолютной величины суммы получим

Абсолютная величина полной погрешности оценивается суммой ∆_мет +∆_неустр+ ∆_окр и, следовательно, эта сумма может быть принята за абсолютную полную погрешность вычисления

∆_полн = ∆_мет +∆_неустр+ ∆_окр (4)

Полная погрешность вычисления равна сумме абсолютных погрешностей метода, неустранимой и округления. Формула (4) верна при любых вычислениях.