Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Рассмотрим уравнение вида:

. (1)

Необходимо определить имеет ли данное уравнение решение, если уравнение разрешимо, то сколько имеется решений и затем отыскать корень (корни) уравнения с заданной точностью. Корнем уравнения является такое значение , при подстановке которого в уравнение (1) последнее превращается в тождество .

Универсального метода решения уравнений всех типов не существует. Существующие методы, как правило, имеют многошаговый, итерационный характер. Исходным является некоторое грубое начальное приближение , которое уточняется на следующем этапе работы алгоритма. При этом получается новое приближение и процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность вычислений. В результате формируется последовательность значений .

Структура алгоритмов, используемых для отыскания корней уравнения, должна удовлетворять следующим требованиям:

1. способ построения приближенных решений должен обеспечивать получение «лучшего» следующего приближения по сравнению с предыдущим;

2. последовательность приближений должна сходиться к точному решению уравнения;

3. алгоритм должен содержать метод оценки погрешности приближенного решения.

Итерационные метод- это метод последовательных приближений. Алгоритм нахождения корня состоит из двух этапов:

1. отыскание приближенного значения корня или отрезка, содержащего корень;

2. получение приближенного значения с заданной степенью точности.

Приближенное значение корня (начальное приближение) может быть найдено с помощью графических методов или другой априорной оценки. Для отделения корней можно использовать Первую теорему Больцано-Коши, если непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах отрезка, то существует точка принадлежащая этому отрезку, в которой функция равна нулю (уравнение имеет на отрезке хотя бы один корень). В качестве начального приближения можно взять середину этого отрезка. Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения. Каждый шаг называется итерацией и в результате выполнения итераций формируется последовательность приближенных значений корня . Итерационный процесс сходится, если с ростом n эти значения приближаются к истинному значению корня.