Метод касательных (метод Ньютона)

Mетод состоит в том, что приближение корня ищется как координата точки пересечения касательной с осью О x, проведенной к кривой в точке . При этом начальное приближение не требует определения отрезка .

Уравнение касательной, проходящей через заданную точку к кривой имеет вид:

(3)

Тогда следующее приближение корня определяется как точка пересечения этой касательной с осью абсцисс:

, аналогично для n+1 –го приближения получим (4), где .

В формуле (4) , если ; , если на .

Для окончания итерационного процесса используется либо условие либо условие .

Пример. Отделить корни аналитически и уточнить их методом касательных с точностью до 0,001.

, следовательно, для вычислений применяем формулу , где . Вторая производная

Вычисления представлены в таблице.

2,0000	27,0000		0,28125
1,7188	6,0404	55,12756	0,10957
1,6092	0,7100	42,456	0,01672
1,5925	0,0150	40,6721	0,00037
1,5921	0,0000	40,63327	1,8E-07

Данные вычислений показывают, что разница между корнями достигает требуемой точности на четвертой итерации. Таким образом, получен корень .