Метод итераций для нелинейных систем уравнений

Дана система нелинейных уравнений:

(1)

функции действительны, определены и непрерывны в некоторой окрестности изолированного решения данной системы.

Пусть , , тогда (1) можно записать в виде:

(2)

Для нахождения вектора решения удобно использовать метод итерации

, (3)

где начальное приближение . Если процесс итерации (3) сходится, то является корнем уравнения (2).

Если, кроме того, все приближения принадлежат области W и - единственный корень системы (2), то .

Метод итерации может быть применён к общей системе f(X)=0 (3), где f(X) – вектор - функция, определенная и непрерывная в некоторой окрестности вектора решения . Запишем систему в виде: , - неособенная матрица. Пусть (4)

К (4) можно применить обычный метод итерации.

Пример 7.

Приближённо решить систему методом итерации.

(5)

Кривые пересекаются приблизительно в точках (1,4;-1,5) и (3,4;2,2)

Приведём к виду (4)

Если , то , , следовательно матрица неособенная и существует обратная матрица

, тогда

=

=