2015-01-21
1452
Уравнение 
следует привести к виду 
. Итерационный процесс сходится при условии 
на 
.
Это требование накладывает ограничения на выбор величины k.
Таким образом, k следует выбирать так, чтобы 
, 
и знак k совпадал бы со знаком 
на .
Уточнение корня производится по формуле 
, где 
- значение, взятое из промежутка .
Точность вычисления можно оценить из соотношения
, где 
- точное значение корня, 
Теорема
Если функция φ (x) удовлетворяет следующим условиям:
1. φ (x) определена и непрерывна на отрезке [ a,b ];
2. φ (x) 
[ a,b ], для 
x [ a,b ];
3. 
<1, x [ a,b ], то уравнение x= φ (x) имеет на отрезке [ a,b ] единственный корень и последовательность{ xn }сходится к этому корню независимо от начального значения.
Пример. Отделить корни аналитически и уточнить их методом итераций с точностью до 0,001.
Отделим корни аналитически, для этого найдем критические точки функции, т. е. точки, в которых производная функции обращается в ноль и границы интервала, определим знак функции в них.
Производная 
в точках 
.
Составим таблицу знаков
 | -∞ | 1/3 | +∞ | |
| Sign f(x) | - | + | - | + |
Так как наблюдается перемена знака функции, то уравнение имеет три действительных корня. Уменьшаем промежутки, содержащие корни.
| | -1 | 1/3 | 3,7 | |
| Sign f(x) | - | + | - | + |
Следовательно, корни следует искать на промежутках [-1;1/3], [1/3;3], [3;3.7].
Найдем корень на промежутке [-1;1/3]. Составим выражение
, подобрав значение k таким, чтобы обеспечить сходимость итерационного процесса на данном промежутке. Для этого вычислим значение производной на концах отрезка 
. Тогда 
В этом случае
Пусть 
, тогда уточненное значение корня . Вычисления приведены в таблице.
 |  |  |
| 0,333 | -0,415 | |
| -0,415 | -0,897 | |
| -0,897 | -0,853 | |
| -0,853 | -0,871 | |
| -0,871 | -0,864 | |
| -0,864 | -0,867 | |
| -0,867 | -0,866 | |
| -0,866 | -0,866 | |
| -0,866 | -0,866 |
На промежутке [-1;1/3] найден корень 
.
Теперь рассмотрим промежуток [1/3;3]. На границах этого отрезка 
значения производной равны нулю 
, а внутри отрезка 
для всех значений 
. Вторая производная 
в точке 
, значение первой производной в этой точке 
, тогда значение 
обеспечит сходимость итерационного процесса.
, 
.
Вычисления приведены в таблице
| | | |
| 3,000 | 2,333 | |
| 2,333 | 2,160 | |
| 2,160 | 2,236 | |
| 2,236 | 2,199 | |
| 2,199 | 2,217 | |
| 2,217 | 2,208 | |
| 2,208 | 2,212 | |
| 2,212 | 2,210 | |
| 2,210 | 2,211 | |
| 2,211 | 2,211 | |
| 2,211 | 2,211 |
На промежутке [1/3;3] найден корень 
.
Рассмотрим отрезок [3;4], значение производной на концах отрезка 
, можно взять 
, тогда
, 
.
| | | |
| 4,000 | 3,700 | |
| 3,700 | 3,670 | |
| 3,670 | 3,660 | |
| 3,660 | 3,657 | |
| 3,657 | 3,656 | |
| 3,656 | 3,656 | |
| 3,656 | 3,656 |
На промежутке [3;4] найден корень 
.
Пример Решить уравнение 
, корни отделить графически.
Для отделения корней строим графики функций 
, точки пересечения этих графиков являются корнями заданного уравнения (рис. 1).
Рис.1.
На графике видно, что уравнение имеет два корня на интервалах [-0,5;0] и [1;1,5]. Уточним эти корни с помощью изученных ранее методов. Результаты использования метода половинного деления на интервале [-0,5;0] приведены в таблице
| |  |  |  |  | |
| -0,5000 | 0,0000 | -0,2500 | 0,4870 | ||
| -0,2500 | 0,0000 | -0,1250 | -0,1079 | ||
| -0,2500 | -0,1250 | -0,1875 | 0,1762 | ||
| -0,1875 | -0,1250 | -0,1563 | 0,0308 | ||
| -0,1563 | -0,1250 | -0,1407 | -0,0393 | ||
| -0,1563 | -0,1407 | -0,1485 | -0,0042 | ||
| -0,1563 | -0,1485 | -0,1524 | 0,0134 | ||
| -0,1524 | -0,1485 | -0,1505 | 0,0045 | ||
| -0,1505 | -0,1485 | -0,1495 | 0,0003 | ||
| -0,1495 | -0,1485 | -0,1490 | -0,0020 | ||
| -0,1495 | -0,1490 | -0,1493 | -0,0009 | ||
| -0,1495 | -0,1493 | -0,1494 | -0,0002 | ||
| -0,1495 | -0,1494 | -0,1495 | 0,0000 |
В результате найден корень 
. Аналогично на интервале [1;1,5] ищется корень 
:
| | | | |  |
| 1,0000 | 1,5000 | 1,2500 | -0,5192 | |
| 1,2500 | 1,5000 | 1,3750 | -0,1264 | |
| 1,3750 | 1,5000 | 1,4375 | 0,0882 | |
| 1,3750 | 1,4375 | 1,4063 | -0,0205 | |
| 1,4063 | 1,4375 | 1,4219 | 0,0336 | |
| 1,4063 | 1,4243 | 1,4153 | 0,0107 | |
| 1,4063 | 1,4153 | 1,4108 | -0,0049 | |
| 1,4108 | 1,4153 | 1,4131 | 0,0029 | |
| 1,4108 | 1,4131 | 1,4120 | -0,0009 | |
| 1,4120 | 1,4131 | 1,4126 | 0,0012 | |
| 1,4120 | 1,4126 | 1,4123 | 0,0003 | |
| 1,4120 | 1,4123 | 1,4122 | -0,0002 | |
| 1,4122 | 1,4123 | 1,4123 | 0,0001 |
Корни могут быть найдены методом касательных, причем количество итераций, потребовавшихся для отыскания корней, меньше.
| |  |
| 0,0000 | -0,5973 |
| -0,1707 | 0,0973 |
| -0,1498 | 0,0015 |
| -0,1494 | 0,0000 |
| | |
| 1,5000 | 0,3139 |
| 1,4151 | 0,0100 |
| 1,4122 | 0,0000 |
Корни данного уравнения найдены: 
Индивидуальные задания по методам дихотомии, хорд и касательных
Задание 1
Отделить все корни каждого из заданных уравнений. Длина каждого из интервалов, содержащего корень, должна быть не больше единицы.
| Номер варианта | Уравнение | |
| 1. | x3- x2-7x=0 | ex-5x+2cosx=0 |
| 2. | x3- x2-5x-6=0 | 10x+5-ex=0 |
| 3. | x3+3 x2-2x-3=0 | x-0,3sinx+1=0 |
| 4. | x4-2x3- x2+6x-1=0 | tgx+x-3=0, x [ 0, 2  ] |
| 5. | x3+7 x2+x-1=0 | arctgx-3x+5=0 |
| 6. | 3x3+2 x2-3x-1=0 | 2lnx-3x+ex=0 |
| 7. | x3+3 x2-12x+3=0 | e-x+x2-6x+2=0 |
| 8. | x4+2x3- x2-6x-1=0 | x-10lnx+4=0 |
| 9. | x3+10 x2-2x-3=0 | ex+x2(x+1)-1-10=0 |
| 10. | 4x4-3x3-x-5=0 | xsinx+8-ex=0 |
| 11. | x3+5 x2+x-11=0 | e2x-  -x2=0 |
| 12. | x3+10 x2+3x+15=0 | ex-10sinx-5=0, x>-  |
| 13. | 5x4+x3+3x2-4=0 | 2sin3x-3cosx-cos3x+1=0, 0  x 2 |
| 14. | x3-7 x2-2x+3=0 | ln(1+x)-(1-x)-1+3-x2=0 |
| 15. | x3+4 x2+3x+5=0 | cosx-0,1x-0,3=0, x [  , 2 ] |
| 16. | x4-3x-5=0 | e2x-tgx+x2-2=0, x [0, [ |
| 17. | x4+5x3-4x+1=0 | tgx+x2-1=0,, x ] , [ |
| 18. | x3+ x2-7x+4=0 | ex-x3+8x2-20x-2=0 |
| 19. | x3-6x2-4x+20=0 | (x+5)  -6=0 |
| 20. | x3+ x2-17x+10=0 | 2sinx-3cos5x-(1+x2)-1=0, 0 x 2 |
| 21. | x3+5x2+x-1=0 | 5x+2cosx+e-x=0 |
| 22. | x3+10 x2+3x-12=0 | x+0,3sinx-1=0 |
| 23. | x3+15 x2+22x+13=0 | 5-10x+ex=0 |
| 24. | x4-6x3+11x2-2x-5=0 | 3-x-tgx=o, x [ 0, 2 ] |
| 25. | x3+3 x2+12x-1=0 | ex+x2+6x+2=0 |
| 26. | x3+13 x2-41x+37=0 | -3x2-arctgx+4=0 |
| 27. | x3+20 x2+41x+25=0 | 3x+e-x+2  =0 |
| 28. | x4-2x3-x2-2x+3=0 | x+10 -4=0 |
| 29. | x3+16 x2+50x+41=0 | e-x+x2(x-1)-1-10=0 |
| 30. | 4x4-16x3+21x2-11x-3=0 | 8+xsinx-e-x=0, x 4 |
Задание 2
Найти наибольший корень уравнения с погрешностью, не превышающей 5*10-6, используя
1) метод деления отрезка пополам;
2) комбинированный метод хорд и касательных;
3) метод итераций.
Указание:
1) Произвести проверку выполнения всех условий применимости каждого метода.
2) Первые два приближения по каждому из методов вычислить «вручную», результат оформить в виде таблицы.
3) Расчет корня с заданной точностью произвести, используя компьютерные программы, разработанные для каждого метода. Текст и результат работы программ привести в отчете.
| Номер варианта | Уравнение | Номер варианта | Уравнение |
| e3x-10x2-5=0 | x3-2x2+10x-4=0 | ||
| sinx-x2+5=0 | ex-5x+2=0 | ||
| x3-x2+3x+3=0 | x3-3x2+2x-3=0 | ||
| x3-x2-5x-1=0 | x3-e-3x+2=0 | ||
| x3-4x2+6x-5=0 | x3-4x2+3x-5=0 | ||
| x4sinx-1=0 | 5x-sinx-10=0 | ||
| x4-3x2+2x-1=0 | x3-x2+3x-2=0 | ||
| ex+10cosx-10=0 | x3+5x2+x-1=0 | ||
| 2 -e3x-x3=0 | x3-cosx-2x=0 | ||
| x3-6x2+2x-1=0 | x3-2x2+5x+3=0 | ||
| 9cosx-3+x=0 | x3-4x2-3x-5=0 | ||
| x4-6x3+5x2-1=0 | x3+3x2-5x+4=0 | ||
| esinx-2+2x=0 | 5x-sinx-cos0,5x-10=0 | ||
| x4-3x3+2x-1=0 | x3-2x2+6x-1=0 | ||
| x3-ecosx-1=0 | 3sin2x-3  -10x+7=0 |
