Единственность интерполяционного многочлена

Задача интерполирования имеет единственное решение. Для доказательства допустим, что имеются два многочлена L_n(x) и M_n(x), оба не выше n -ой степени, удовлетворяющие условию (1) задачи:

L_n(x_i)=f(x_i), M_n(x_i)=f(x_i), i=0,1,…,n.

Разность этих многочленов P_n(x)= L_n(x)- M_n(x) является многочленом степени не выше n и обращается в нуль во всех узлах интерполяции P_n(x_i)= L_n(x_i)- M_n(x_i)= f(x_i)- f(x_i)=0.

Следовательно, уравнение P_n(x)=0 имеет n+1 корень. Уравнение n -ой степени не может иметь больше, чем n вещественных корней, поэтому многочлен P_n(x) тождественно равен нулю, т.е. L_n(x)- M_n(x) ≡ 0 или L_n(x) ≡ M_n(x).

Независимо от способа построения интерполяционного многочлена, в конечном результате всегда получается один и тот же многочлен, а представляющие его формулы могут быть различными.