Пример 13

Проводник длиной = 1 м, по которому проходит ток I = 2A, согнут в форме полукольца и расположен в плоскости, перпендикулярно к направлению индукции магнитного поля В. Найти силу, действующую на этот проводник в магнитном поле. Как изменится величина этой силы, если полукольцо полностью разогнуть (остальные условия остаются теми же). Индукция магнитного поля В = 10^-5 Тл.

Дано: Решение

= 1м + + y + + + + + +

I = 2A + + + + + + + l +

В = 10^-5 Тл ¹ + + +

F, F₁ =? + + _{а da} + + +

1

+ + ⁰ + + ^х

^{а) б)}

Рис.11

Физическую систему составляет проводник с током и созданное им магнитное поле. На элемент проводника , помещенный в магнитное поле индукцией , действует сила, которую определяют по формуле Ампера

. (1)

В данном случае угол между dl и B равен p/2 (рис.11) и формулу (1) можно написать в виде dF = IBdℓ. Cилы, действующие на каждый элемент проводника с током, направлены по радиусам полукольца и лежат в одной плоскости. Выбрав координатные оси xy, как показано на рис.11а, найдем проекции сил:

dF_x = dFsina; dF_y = dFcosa.

Результирующая сила, действующая на все элементы полукольца, будет определяться силой F_у, так как из соображения симметрии следует

.

значит,

. (2)

Элемент дуги dl = lda/p, а угол a изменяется от - p/2 до p/2. Тогда

. (3)

Подставляя числовые значения в выражение (2), получаем F = 1,27^.10^-5H.

Если полукольцо полностью разогнуть, то силы, действующие на каждый элемент проводника, будут параллельным между собой (рис.11,б). Поэтому результирующая система, действующая на весь проводник,

. (4)

Подставляя в выражение (4), получим F₁ =2×10^-5 H. Сравнивая числовые значения сил F и F₁, можно сделать вывод, что они зависят от формы проводника.

Проверка размерности:

.