2015-01-21
2057
Определить с помощью формулы Планка энергетическую светимость DRэ абсолютно черного тела, приходящуюся на узкий интервал длин волн Dl = 10 ангстрем, соответствующий максимуму энергетической светимости при температуре тела Т = 3.103 К.
 |
Дано Решение
Dl = 10-9 м Физическую систему составляет абсолютно чер-
Т = 3.103 К. ное тело. Энергетическая светимость dRэ, приходя-
DR3 щаяся на интервал длин волн от l до l + dl, связа-
на с распределением энергии излучения по длинам
волн r lТ соотношением
dRэ =rlТdl. (1)
Для нахождения rlТ воспользуемся формулой Планка для спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела rw,T:
(2)
где w - частота излучения, 
=1,054.10-23 Дж.К – постоянная Больцмана; с = 3.108 м/с – скорость света в вакууме.
Найдем связь между интервалом частот dw. Длина волны l с частотой w связана соотношением:
(3)
Дифференцируя выражение (3), получим:
(4)
Энергетическая светимость, приходящаяся на интервал длин волн dl, равна с противоположным знаком энергетической светимости, приходящейся на интервал частот dw., т.е.
|
|
|
. (5)
Подставляя выражение (4) в формулу (5), получаем
откуда следует
(6)
С учетом формул (1) – (3) и формулы (6) окончательно получаем
(7)
Поскольку речь идет о конечном и достаточно узком интервале длин волн, то
DRэ = rloDl, (8)
где rl - максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела при данной температуре.
Для определения длины волны l0, на которую приходится максимум rlо, воспользуемся законом смещения Вина
l0 = b/T (9)
где b = 2,90.10-3 м.К – постоянная Вина, Т – температура тела.
Подставляя выражения (7) и (9) в формулу (8), получаем, что энергетическая светимость DRэ абсолютно черного тела, приходящаяся на интервал длин волн, соответствующий максимуму энергетической светимости при данной температуре,
(10)
Подставляя в формулу (10) значения величин, получаем:
DRэ = 3,2.103 Вт/м2.
Проверка размерности:
